Regulärer Raum - Äquivalente Definition [Topologie]

19.05.2010, 18:06	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Regulärer Raum - Äquivalente Definition [Topologie] Hallo zusammen, ich quäle mich immer noch mit Topologie. ;-) Und wieder ist Grundlage meines Anliegens eine Stelle aus "Topologische lineare Räume" von Gottfried Köthe. Dort wird ein regulärer Raum wie folgt definiert: Ein separierter Raum $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ heißt regulär, wenn er folgende Bedingung erfüllt: (R) Die abgeschlossenen Umgebungen jedes Punktes bilden eine Basis des Umgebungsfilters. Eine Seite später steht, dass zu (R) äquivalent folgende Bedingung ist: (R') Ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ abgeschlossen in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ und liegt der Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht in M, so haben $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ stets Umgebungen mit leerem Durchschnitt. Mein Problem an dieser Stelle: Ich dachte, dass (R') bereits daraus folgt, dass ein Raum separiert ist. Sollten (R) und (R') also wirklich äquivalent sein, wäre jeder separierte Raum regulär. Meine Begründung: $\begin{eqnarray} x \notin M \Rightarrow x \end{eqnarray}$ ist kein Berührpunkt von M. Denn M ist abgeschlossen und enthält somit alle seine Berührpunkte. Für jeden Berührpunkt $\begin{eqnarray} x_\alpha \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ existieren nun dank der Separiertheit Umgebungen von $\begin{eqnarray} x_\alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , deren Schnitt leer ist, wobei die Umgebungen von $\begin{eqnarray} x_\alpha \end{eqnarray}$ nach Definition eine offene Umgebung enthalten müssen. Vereinigt man all diese offenen Umgebungen der $\begin{eqnarray} x_\alpha \end{eqnarray}$ , erhält man eine offene Obermenge von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , also per Definition eine Umgebung von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Nennen wir diese $\begin{eqnarray} U(M) \end{eqnarray}$ . Schneiden wir alle Umgebungen von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , die wir oben benutzt haben, erhalten wir wieder eine Umgebung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , deren Schnitt mit $\begin{eqnarray} U(M) \end{eqnarray}$ leer ist. Als ich das hier aufgeschrieben habe, ist mir mein Denkfehler aufgefallen: Nur endliche Schnitte von Umgebungen müssen wieder Umgebungen sein, wir haben es hier aber mit einem möglicherweise unendlichen Schnitt zu tun, richtig? Ich möchte meine Gedanken oben nicht löschen, da ich glaube, dass sie ein guter Ansatz für den Beweis sind, dass (R) und (R') äquivalent sind. Irgendwie kann man sicher noch verwenden, dass unendliche Schnitte abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind. Ich weiß leider nur noch nicht genau wie. Hat jemand vielleicht eine Idee? Ich werde auch mal versuchen, mir noch ein paar Gedanken dazu zu machen. Gruß David
20.05.2010, 01:52	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ein wenig Offtopic: Was ist das für ein schreckliches Topologiebuch? Heutzutage wird m.E. eine Topologie standardmässig über offene Mengen (und nicht Filter) definiert. Natürlich sind diese Definitionen äquivalent, aber Filter scheint niemand (mehr) zu benutzen (bzw. nicht in dem Masse). Und auch der veraltete Begriff "separiert" wurde so wie ich das sehe durch "Hausdorff" abgelöst. Das liegt wohl vor allem daran, dass man schon den praktisch gleich klingenden Begriff "separable Räume" hat - das sind Räume mit einer abzählbaren, dichten Teilmenge. Und infolgedessen nennt man Regulär normalerweise einen Hausdorff Raum, der (R') erfüllt. Falls das deine erste Berührung mit Topologie ist, dann solltest du dir überlegen, ein Standardwerk wie "Topology" von James R. Munkres, "Topologie" von Klaus Jänich oder "Mengentheoretische Topologie" von Boto v. Querenburg anzuschaffen. (Ich persönlich fand das Buch von Munkres am besten und habe den Teil über mengentheoretische Topologie im Selbststudium durchgearbeitet, den zweiten Teil über alg. Top. bearbeite ich auch bald.) Wie gesagt, das ist bloss meine persönliche Meinung. Aber ich gehe nicht davon aus, dass viele Studenten schon näher in Kontakt mit Filtern gekommen sind und es wäre schade um deine Zeit, wenn du nachher mit den gebräuchlichen Begriffen nicht vertraut bist...
24.05.2010, 20:19	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi gonnabphd, das Buch ist (oder war?) laut Wikipedia ein Standardwerk über Topologie. Aber leider auch schon 50 Jahre alt und dementsprechend wohl auch schon sehr veraltet. Warum ich mich damit beschäftigen muss: Ich belege zurzeit ein Topologie-Seminar und unser Professor hat uns als Vortragsthemen einzelne (Teil-)Kapitel dieses Buches zugeteilt. Das heißt, inhaltlich müssen wir uns sehr stark an dem Buch orientieren. Meinen Vortrag habe ich übrigens am Donnerstag bereits gehalten. Der schwierige Teil ist also geschafft. :-) Auch wenn mein Interesse an der Topologie jetzt geweckt ist, werde ich mich wohl oder übel in nächster Zeit wieder auf den Rest meines Studiums konzentrieren müssen. Danke trotzdem für die Buchvorschläge. Früher oder später werde ich sicher nochmal mit Topologie in Berührung kommen und dann bin ich froh darum, Anhaltspunkte zu haben. :-) Gruß David
29.05.2010, 19:37	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi David Komischen Professor habt ihr da! Da du so oft Aufgaben aus diesem Buch gepostet hast, lag die Vermutung nahe, dass du das Buch "privat" bearbeitest und deshalb wollte ich meine Ansichten natürlich nicht verheimlichen... Wenn ihr das so auferlegt bekommen habt (bzw. inzwischen vielleicht schon hattet), dann kann man da jedoch nix machen. Ist aber wirklich komisch, denn das Buch kann man bei Amazon z.B. noch nicht mal mehr bestellen und auch sonst habe ich nix darüber schnell ergoogeln können... Grüsse, gphd...

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