Gram-Schmidt - nur WAS von beiden? |
| 19.05.2010, 19:27 | Viviane23 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gram-Schmidt - nur WAS von beiden? Ich habe eine Basis B = b1,b2,b3 gegeben und soll eine Orthonormalbasis B' dazu berechnen mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrens. EIGENTLICH kein Problem. Nur: Bei Wiki stehen dazu 2 Verfahren (http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmid...erungsverfahren), das ERSTE heißt tatsächlich Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, kommt aber in meinem Skript nicht vor. Das ZWEITE heißt bei Wiki OrthoNORMALisierungsverfahren, ist in meinem Skript aber als Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren angegeben. Es kommen jeweils unterschiedliche Ergebnisse raus. Ich bin jetzt etwas ratlos, welches von beiden Verfahren das richtige zur Berechnung einer Orthonormalbasis ist? Das zweite Problem ist etwas kniffliger: Ich habe einen Unterraum von [;C^{\infty};], der nur die Polynome vom Grad höchstens 2 umfasst. Dazu ist die Basis [; {1,x,x^{2};] gegeben. Ich soll, wieder mit Gram-Schmidt, eine Ortnonormalbasis dazu berechnen. Wie soll das gehen? Die gegebene Basis besteht doch gar nicht aus Vektoren? Danke..... |
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| 20.05.2010, 00:56 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gram-Schmidt - nur WAS von beiden? Na, dann ist doch bestimmt das Verfahren aus deinem Skript gemeint. 
Die generelle Idee der Verfahren sollte klar sein. Man findet sie auch unter GS und modifiziertes GS. Da kommt neben der Theorie die Praxis ins Spiel und da bekommt man GS schon mal Probleme. [Numerik I] - Übung 3 * [Numerik I] - Übung 4 * Zu 2 Polynome sind auch Vektoren in ihren VR. Du musst dir nur eine geeignete Basis suchen, um schöne Koordinaten Vektoren angeben zu können. Tipp: Monom-Basis. Was eher fehlt, ist das Skalarprodukt. |
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| 20.05.2010, 01:08 | BobbyJack | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gram-Schmidt - nur WAS von beiden? Hallo Viviane, Prinzipiell scheint ja schon der Name der verschiedenen Verfahren auf die Richtige Lösung zu weisen: Wir haben zwar bisher immer das Orthonormalverfahren angewendet, aber rein von der Bezeichnung her scheint beim Orthogonalisierungsverfahren am Ende ein Basis zu stehen, die nicht unbedingt normalisiert (alle Vektoren: Länge = 1) sein müssen. Der Unterschied der Verfahren wie sie bei Wikipedia dargestellt werden liegt ja ausschließlich in der Normalisierung. Da du eine Orthonormalbasis bestimmen sollst, brauchst du auch das Orthonormalisierungsverfahren. Die Bezeichnungen scheinen da ziemlich flexibel wählbar zu sein
Zu deinem zweiten Problem: du kannst dir alle Polynome aus bestimmten "Bausteinen" zusammengesetzt vorstellen. Im 3Dimensionalen Raum bestehen alle Punkte die du erreichen willst aus der Linearkombination von den drei Basisvektoren, d.h.: durch geeignete Addition der Vektoren kannst du jeden Punkt erreichen. Bei den Polynomen ist das ähnlich. Jedes deiner Polynome entspricht nun einem Punkt, der aus der Linearkombination der Basisvektoren zu erreichen ist. Ein Beispiel: 2 x^2 + 3 x - 5 lässt sich in deiner Basis darstellen als: -5* Vektor eins + 3* Vektor zwei + 2* Vektor drei wobei die einzelnen Vektoren jeweils den Vektoren deiner gegebenen Basis entsprechen. Und wie bereits gesagt lässt sich nun jedes Polynom vom Grad höchstens 2 durch Addition deiner Basisvektoren erreichen. Deshalb kannst du diese "Vektoren" als Basis des Polynomraumes bezeichnen. Viel Erfolg bei deinen Aufgaben BobbyJack |
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