Direkte Summen von UVRen

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19.05.2010, 21:29	robinhonaldo	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summen von UVRen Hallo Leute, ich war leider letzte Vorlesung in Lin.Alg. II krank und hoffe nun, dass ich das Thema richtig verstanden habe. Es geht um Summen von Untervektorräume. Habe ich das richtig verstanden, dass eine eindeutige Summe direkt ist und eine nicht-eindeutige eben nicht direkt? Wie weist man "direkt" nach? Wenn ich jetzt zB im R^3 bin und U $\begin{eqnarray} _{1} \end{eqnarray}$ := x-y-Ebene und U $\begin{eqnarray} _{2} \end{eqnarray}$ := y-z-Ebene meine beiden Untervektorräume, spannt ja derer Summe logischerweise ganz R^3 auf. Ist diese Summe aber nun direkt? Mein Ansatz: U $\begin{eqnarray} _{1} \end{eqnarray}$ = {x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \ybegin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} mit x,y \in R} U $\begin{eqnarray} _{2} \end{eqnarray}$ = {y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \zbegin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} mit z,y \in R} Jetzt könnte man aber zB den Vektor \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} darstellen mit: 0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} oder eben mit 0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} also wäre doch dann die Summe nicht eindeutig und demzufolge nicht direkt oder? Würde mich sehr über Hilfe freuen
19.05.2010, 21:33	robinhonaldo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkte Summen von UVRen sorry, hab den Latex Code vergessen, so hier nochmal: Mein Ansatz: U $\begin{eqnarray} _{1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} {x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \ybegin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} mit x,y \in R} \end{eqnarray}$ U $\begin{eqnarray} _{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} {y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \zbegin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} mit z,y \in R} \end{eqnarray}$ Jetzt könnte man aber zB den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darstellen mit: $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder eben mit $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.05.2010, 21:43	robinhonaldo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Direkte Summen von UVRen sorry für den Triplepost, aber irgendwie hab ich LaTeX noch nicht so ganz begriffen, hier nochmals optisch verbessert und nun hoffentlich richtig: Wie weist man "direkt" nach? Wenn ich jetzt zB im R^3 bin und U $\begin{eqnarray} _{1} \end{eqnarray}$ := x-y-Ebene und U $\begin{eqnarray} _{2} \end{eqnarray}$ := y-z-Ebene meine beiden Untervektorräume, spannt ja derer Summe logischerweise ganz R^3 auf. Ist diese Summe aber nun direkt? Mein Ansatz: U $\begin{eqnarray} _{1} \end{eqnarray}$ = a $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ U $\begin{eqnarray} _{2} \end{eqnarray}$ = b $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt könnte man aber zB den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darstellen mit: $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder eben mit $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also wäre doch dann die Summe nicht eindeutig und demzufolge nicht direkt oder?
19.05.2010, 23:17	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sieht man auch gleich daran, dass die Summe im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ liegt (also höchstens 3-dimensional ist) und beide Räume 2-dimensional sind.
19.05.2010, 23:38	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder in diesem Fall noch geometrisch: die x-y- und y-z-Ebene haben die y-Achse als Schnittgerade, es ist also nicht $\begin{eqnarray} U\cap W=\{0\} \end{eqnarray}$ , was für $\begin{eqnarray} V=U\oplus W \end{eqnarray}$ notwendig wäre.
19.05.2010, 23:52	robinhonaldo	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, super danke für eure Antworten Das was du gesagt hast, jester., wusste ich gar nicht... heisst das, dass wenn ich zB. die UVRe U $\begin{eqnarray} _{1} \end{eqnarray}$ = x-y-Ebene und U $\begin{eqnarray} _{2} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 2t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ habe, dann schneiden die sich ja nur im 0 $\begin{eqnarray} _{v} \end{eqnarray}$ und die Summe aus den beiden UVRen wäre dann direkt?
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20.05.2010, 03:29	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist hier korrekt, aber aufgepasst! Ein Beispiel, bei dem das nicht ganz funktioniert: $\begin{eqnarray} A_1 := span(^t(2,1,0)), A_2 := span(^t(0,4,1), A_3 := span(^t(4,6,1)) \end{eqnarray}$ Nun sei $\begin{eqnarray} V := A_1 + A_2 + A_3 \end{eqnarray}$ offensichtilich ist $\begin{eqnarray} A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \{0 \} \text{ und } A_i \cap A_j = \{0 \} \qquad \forall \quad i \neq j, \quad i,j = 1,2,3 \end{eqnarray}$ Aber $\begin{eqnarray} dimV=2 \end{eqnarray}$ , also kann $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nicht das direkte Produkt der drei 1-dimensionalen Räume $\begin{eqnarray} A_1, A_2, A_3 \end{eqnarray}$ sein.
20.05.2010, 19:34	robinaldinho	Auf diesen Beitrag antworten »
gonnabphd, an so etwas hatte ich noch gar nicht gedacht. Dann reicht es also nicht nur zu zeigen, dass der Schnitt der UVRe einfach der Nullvektor ist, sondern dann muss man also zusätzlich noch nachweisen, dass die Vektoren linear unabhängig sind? (also logischerweise nur für den Fall, dass V=A_{1}+A_{2}+A_{3} und dimV = 3)
20.05.2010, 20:19	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich hab' bei dem Beispiel ein bisschen betrogen . Denn für die Summe von zwei Vektorräumen stimmt die Aussage: $\begin{eqnarray} V = V_1 \oplus V_2 \quad \Longleftrightarrow \quad V = V_1 + V_2 \text{ und } V_1 \cap V_2 = \{0 \} \end{eqnarray}$ Nur bei mehr Räumen muss man ein wenig aufpassen, da stimmts dann nicht mehr unbedingt.

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