Schnittpunkt von Ellipse und Gerade

20.05.2010, 01:23	AlexaS	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt von Ellipse und Gerade Meine Frage: Ich habe eine Ellipse im R² gegeben: - $\begin{eqnarray} a = 5 \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} b = 3 \end{eqnarray}$ - um 75° im Gegenuhrzeigersinn gedreht - um den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ veschoben Nun sollen die Schnittpunkte mit der Geraden $\begin{eqnarray} y=4 \end{eqnarray}$ bestimmt werden. Meine Ideen: Als erstes habe ich die Ellipse in Parameterdarstellung aufgestellt: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 5\cos t\cdot\cos75^{\circ}-3\sin t\cdot\sin75^{\circ}-2 \\ 5\cos t\cdot\sin75^{\circ}+3\sin t\cdot\cos75^{\circ}+7 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Um nun den Schnittpunkt muss ich ja Ellipse und Gerade gleichsetzen: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 5\cos t\cdot\cos75^{\circ}-3\sin t\cdot\sin75^{\circ}-2 \\ 5\cos t\cdot\sin75^{\circ}+3\sin t\cdot\cos75^{\circ}+7 \end{pmatrix}= \left(\begin{array}{c}<br /> 0\\<br /> 4\end{array}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}<br /> 1\\<br /> 0\end{array}\right)<br /> \end{eqnarray}$ Ich schaffe es einfach nicht dieses Gleichungssystem zu lösen, die ganze $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ machen mich ganz fertig. Deshalb habe ich gedacht es wäre bestimmt leichter, wenn man als erstes die Parameterdarstellung in eine Kartesische Darstellung bringt. Und dann mit der kartesischen weiterrechnet, das müsste ja eine Quadratische Gleichung sein mit hoffentlich zwei Lösungen. Nur wie macht man aus der Parameterform eine kartesische Form? Ich hatte mir auch überlegt einfach die Gerade $\begin{eqnarray} y=4 \end{eqnarray}$ zu verschieben und zu rotieren, damit man dann mit der Ellipse in erster Hauptlage rechnen kann, so die Schnittpunkte bestimmt und diese dann wieder zurück rotiert und verschiebt. Hat da jemand eine Idee, ich stehe ganz schön auf dem Schlauch zumal diese Aufgabe eine 0-Punkte Aufgabe sein soll . Über Hilfe würde ich mich sehr freuen
20.05.2010, 13:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt von Ellipse und Gerade Vielleicht wird die Sache einfacher, wenn du nicht die Ellipse bewegst, sondern die Gerade (entgegengesetzt). Verschiebe also die Gerade um den entgegengesetzten Vektor (2\|-7). Dabei kann man auf die Verschiebung in x-Richtung um 2 Einheiten verzichten, weil die Gerade parallel zur x-Achse verläuft. Die Verschiebung der Geraden um 7 Einheiten "nach unten" ergibt die Gerade y=-3. Jetzt müssen wir diese Gerade noch um 75° im Urzeigersinn um den Nullpunkt (0\|0) drehen. Bekanntlich hat eine Gerade, die senkrecht auf dem Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n \end{eqnarray}$ steht und deren Entfernung zum Nullpunkt den Wert E hat, die Form $\begin{eqnarray} \vec n \cdot \vec x=E \end{eqnarray}$ Die Entferung vom Nullpunkt ist in unserem Falle E=3. Drehe jetzt nur noch den senkrechten Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec n=(0\|-1) \end{eqnarray}$ um 75°, also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(75°) & \sin(75°) \\ -sin(75°) & \cos(75°) \end{pmatrix}\underbrace{\begin{pmatrix}0\\-1 \end{pmatrix}}_{\vec n}=\underbrace{\begin{pmatrix}-\sin(75°)\\-\cos(75°) \end{pmatrix}}_{\vec n'} \end{eqnarray}$ Die gedrehte Gerade $\begin{eqnarray} \vec n \cdot \vec x=E \end{eqnarray}$ lautet also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}-\sin(75°)\\-\cos(75°) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=3 \end{eqnarray}$ oder ausmultipliziert in der Form y=mx+n $\begin{eqnarray} y=-tan(75°)\cdot x-\frac{3}{cos(75°)} \end{eqnarray}$ Berechne nun die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ellipse $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{5^2}+\frac {y^2}{3^2}=1 \end{eqnarray}$ . Danach verschiebst du diese Schnittpukte wieder an die alte Stelle. Mache dir übrigens eine Skizze, so dass du immer kontrollieren kannst, was du verschiebst.

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