Abstand Punkt - Gerade |
| 20.05.2010, 13:55 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abstand Punkt - Gerade ich habe zwei Punkte einer Geraden gegeben und einen weiteren Punkt, dessen Abstand von der Gerade ich berechnen soll. Als "Geradenpunkte" habe ich A(3/3/1) und B(-2/3/2). Der Punkt, dessen Abstand von der Geraden berechnet werden soll, ist: C(8/8/0). Ich habe zunächst die Geradengleichung gebildet. Dazu A als Aufpunkt genommen und den Vektor AB als Richtungsvektor. Ich komme damit auf folgende Geradengleichung: g: x = (3/3/1) + t*(-5/0/1) Um nun den Abstand des Punktes von dieser Geraden zu berechnen, habe ich mich für den Ansatz einer Hilfsebene entschieden. Die Ebene soll den Punkt C enthalten und Senkrecht zur Geraden g verlaufen. Ich habe also als Normalenvektor den Richtungsvektor der Geraden und als Aufpunkt C genommen und erhalte damit die Ebene in der Normalenform: E: (-5/0/1)x - 40 = 0 Um diese nun mit der Geraden zum Schnitt zu bringen (damit ich später als Abstand einfach den Abstand C zum Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene nehmen kann) setze ich die Geradengleichung in Parameterform in die Ebenengleichung, die in Normalenform vorliegt ein, und löse nach t auf. t = 54/26 Genau hier bin ich mir sehr unsicher, ob das stimmt, da ich dann für den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene, nennen wir ihn Q, keine geraden Zahlen als Komponenten des Vektors heraus bekomme! Hilfe ist erbeten, stehe auch noch für weitere Nachfragen zur Verfügung. Danke! |
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| 20.05.2010, 14:08 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe meine Rechnung überprüft. Hatte einen Rechenfehler drin. Bekomme jetzt für t = -1. Das ergibt aber in sofern keinen Sinn, als ich für t mit Hilfe eines anderen Verfahrens +1 rausbekomme. Und das liefert unterschiedliche Abstände! |
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| 20.05.2010, 15:03 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt bin ich endgültig verwirrt. t = 1 und t = -1 scheinen dieselben Ergebnisse zu liefern? Ist das wirklich so? Warum? Ist es wegen der gegenseitigen Kolinearität (ich multipliziere den RV der Gerade mit verschiedenen Faktoren?) |
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| 20.05.2010, 15:09 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
t = -1 ist richtig. Wenn wir den Rechenfehler finden sollen, musst Du uns Deinen Rechenweg zeigen. Wahrscheinlich ist es ein Vorzeichenfehler. |
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| 20.05.2010, 15:18 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also: Die t = -1 bekomme ich mit dem Ansatz der Hilfsebene heraus. Wenn ich das ganze aber mit Hilfe des Skalarprodukts löse (Ansatz: Der Richtungsvektor der Geraden ist Senkrecht zum Lot vom Punkt auf die Gerade), bekomme ich t = +1. Erstaunlich dabei ist, dass ich für den Abstand wieder 5 herausbekomme. Mein Rechenweg bei dem Ansatz mit dem Skalarprodukt ist: [(8/8/0)-(3/3/1)+t*(-5/0/1)] >> Dies ist die Strecke QC (Dies ist gewissermaßen das Lot) * (-5/0/1) >> Der RV der Geraden = 0 >> Da das Lot und der RV orthogonal sind Also zusammengefasst: [(8/8/0)-(3/3/1)+t*(-5/0/1)] * (-5/0/1) = 0 Wenn ich das vereinfache komme ich auf: [(5/5/-1)+t*(-5/0/1)] * (-5/0/1) = 0 Ausmultipliziert: -26+26t=0 => t = 1 Eingesetzt in QC: (5/5/-1)+(-5/0/1) = (0/5/0) Betrag: |(0/5/0)| = 5. Wie gesagt: Wenn ich das mit der Hilfsebene rechne und t = -1 rausbekomme, komme ich auch auf den Abstand 5: t = -1 Eingesetzt in die Geradengleichung, um Q zu errechnen: q= (3/3/1) - (-5/0/1) = (8/3/0) c = (8/8/0) QC = c - q = (8/8/0) - (8/3/0) = (0/5/0) Betrag: |(0/5/0)| = 5. |
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| 20.05.2010, 15:23 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Komischerweise ist es so, dass wenn ich da: [(8/8/0)-(3/3/1)+t*(-5/0/1)] habe, also QC und ich dort für t = 1 einsetze, ich auf ein falsches Ergebnis komme. Berechne ich aber erst (8/8/0)-(3/3/1) und setze dann t = 1 ein, dann komme ich auf das wohl richtige Ergebnis. Woran liegt das hier?! |
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| 20.05.2010, 15:54 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst aufpassen. Dein erstes t = 1 dient für den Vektor (QC). Du suchtst aber letztendlich den Parameter für AQ, deshalb würde ich den anders benennen. Du kannst auch so rechnen: Wenn Du diesen Punkt in die Geradengleichung einsetzt, musst Du auf -1 für den Parameter kommen. |
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| 20.05.2010, 16:04 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt, das t beim Vektor QC ist nicht dieselbe Variable wie in der Geradengleichung? Wäre das nicht formal faslch wenn ich folgendes schreiben würde: [(8/8/0)-(3/3/1)+t*(-5/0/1)] = 0 [(5/5/-1)+a*(-5/0/1)] * (-5/0/1) = 0 ? |
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| 20.05.2010, 17:37 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wenn ich den Ansatz ohne die Hilfsebene nehme, wie würde ich den formal korrekt durchführen? Gibt es da einen Weg, wie ich normal auf t = -1 komme? |
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| 20.05.2010, 21:47 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt nicht, denn Du erhältst ja einen Vektor (der normal auf die Gerade steht) und keine Zahl und auch nicht 0. Nächste Gleichung stimmt und beinhaltet die Überlegung, dass zwei normal zueinander stehende Vektoren, die per Skalarprodukt verknüpft werden, 0 ergeben. Ich hoffe, Du hast Dir eine Skizze von dem Beispiel gemacht. Lies Dir diesen Artikel durch, da werden mehrere Möglichkeiten besprochen. |
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