Ringe , nur mal schauen ob ichs richtig gemacht habe.

21.05.2010, 02:22	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe , nur mal schauen ob ichs richtig gemacht habe. Also Nabend erstmal. Ich habe gerade eine Aufgabe erledigt und hätte gerne , dass da jemand drüber schaut. ^^ Und nur zur Info : Es siewht zwar nach viel aus , aber ist ziemlich schnell durchgelesen. Ich habe mir viel Mühe für die gute Lesbarkeit gegeben. Ich habe länger dafür gebraucht es hier reinzustellen, als ich gebraucht habe , um die Aufgaben zu lösen. Aufgabe : (a) Seien $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ zwei Ringe mit Einselement. Zeigen Sie, dass das Produkt R = $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ mit den Operationen ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) + ( $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) auch ein Ring mit Einselement ist. (b) Zeigen Sie, dass die Abbildung R ---> $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ , die ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) ---> $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ abbildet, ein Ringhomomorphismus ist. (c) Ist R nullteilerfrei, wenn $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ nullteilerfrei sind? Begründen Sie ihre Antwort! Meine Lösungen : (a) Um zu zeigen , dass R ein Ring ist muss ich nach meinem Vorlesungsskript folgende Dinge zeigen : 1. ( R , + ) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 2. r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( r` $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r´´ ) = ( r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r`) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r`` 3. 1 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r = r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 1 = r für das Einselement 4. ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r = $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r + $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r 5. r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) = r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ + r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ Zusatzoption : Wenn r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r` = r` $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r , dann ist R ein kommutativer Ring. Fangen wir also an. Ich fange hier allerdings nicht mit dem ersten Punkt an.Warum erkläre ich noch später. 2. : Für r = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) r` = ( $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) r`` = ( $\begin{eqnarray} r_1`` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2`` \end{eqnarray}$ ) muss also gelten : ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ [ ( $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1`` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2`` \end{eqnarray}$ ) ] = [ ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) ] $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1`` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2`` \end{eqnarray}$ ) Wenn ich dann einfach mal die Multiplikationen auf beiden Seiten ausführe bekomme ich : ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1`` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_2`` \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_2` \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1`` \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2`` \end{eqnarray}$ ) ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1`` \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1` \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1`` \end{eqnarray}$ ) Passt also. Kommen wir nun zum dritten Punkt : Das Einselement ist hier natürlich ( 1 , 1 ) . ( 1 , 1 ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) = ( 1 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , 1 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 1 , $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 1 ) = ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( 1 , 1 ) Passt also auch. Kommen wir zum nächsten Punkt. Ich erledige hier einmal Punkt 4 , weil Punkt 5 analog verläuft. Ich definiere hier jetzt mal $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ = ( a , b ) $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ = ( c , d ) r = ( e , f ) Es muss also folgende Gleichheit gelten : [ ( a , b ) + ( c , d ) ] $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( e , f ) = ( a , b ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( e , f ) + ( c , d ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( e , f ) Das ist dann also ( a + c , b + d ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( e , f ) = ( a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ e , b $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ f ) + ( c $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ e , d $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ f ) [ (a + c) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ e , ( b + d ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ f ] = ( ae + ce , bf + df ) Jetzt habe ich rechts einfach mal e und f ausgeklammert und erhalte dadurch die Gleichheit : [ (a + c) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ e , ( b + d ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ f ] = [ (a + c) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ e , ( b + d ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ f ] So nun fehlt mir also noch der erste Punkt und ich kann noch überprüfen , ob dieser Ring sogar kommutativ ist. Ich fange mit der Kommutativität an : Ich definiere nun r = ( a , b ) r` = ( c , d ) Für diese beiden soll gelten r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r` = r` $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r ( a , b ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( c , d ) = ( c , d ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( a , b ) ( a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ c , b $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ d ) = ( c $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ a , d $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ b ) ----------------> Jetzt weiß ich nicht , ob man Gruppenmitglieder bei der Multiplikation einfach vertauschen kann oder ob die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn sie es tut , kann ich hier keine Aussage darüber treffen , ob der Ring kommutativ ist oder nicht. Tut sie es nicht , so ist es eoin kommutativer Ring. Soooooo , nun würde mir ja nur noch der erste Punkt fehlen. Also zu zeigen , dass die Gruppe bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe ist. Es muss als gelten : a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ b = b $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ a für alle Elemente a , b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R. Aber ich muss sagen , das ich keine Ahnung habe, wie ich da rangehen soll. Denn die beiden Operationen , welche für R = $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ gelten , müssen ja nicht unbdingt auch die Operationen der beiden einzelnen Gruppen $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ sein oder? Daher kann ich diese beiden Operationen wohl nicht einfach dafür heranziehen. Und da ich keine Angaben darüber habe, welche Menge für diese beden Gruppen zugrunde liegen, kann ich da ja auch nicht einfach so irgendwelche Aussagen treffen. Sollte ich die beiden Operationen doch benutzen dürfen , so kann ich es doch , also braucht ihr mir nur zu sagen : " Doch du kannst die Operationen benutzen" Jedenfall wäre es dann damit. Ich mache also weiter mit Aufgabenteil (b) Ich soll zeigen, dass die Abbildung R ----------> $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ ) ---------> $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ ein Ringhomomorphismus ist. Ich bezeichne die Abbildung im folgenden weinfach mal als f , für dieses f muss gelten : 1. f ( 1 ) = 1 2. f ( r + r` ) = f ( r ) + f ( r` ) 3. f ( r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r` ) = f ( r ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ f ( r`) Fangen wir also an : 1. Mit 1 ist doch hier das Einselement gemeint oder? Also wäre f ( 1 , 1 ) = 1 nach dieser Abbildung völlig ok. 2. Ich definiere hierfür : r = ( a , b ) r` = ( c , d ) Für diese Beiden muss folgende Gleichheit gelten f [ ( a , b ) + ( c , d ) ] = f ( a , b ) + f ( c , d ) f ( a + c , b + d ) = a + c ( Beim Unterstrichenen habe ich die Abbildungsvorschrift angewendet ) Also bleibt am Ende auch für den linken Teil : a + c = a + c Passt also auch. 3. Geht praktisch analog wie 2. Das wars dann also auch mit Aufgabenteil (b) (c) Nun ist die Frage , ob R ebenfalls nullteilerfrei ist, wenn $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ nullteilerfrei sind. Nullteilerfrei bedeutet ja, das aus a $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ b = 0 folgt, dass a = 0 oder b = 0 . Kann ich das mit der Operation der Multiplikation zeigen?Wenn ja dann habe ich die Aufgabe wohl gelöst bekommen und rausbekommen, dass R dann auch nullteilerfrei ist. Wenn nicht , dann brauche ich bei dieser Aufgabe Hilfe. So wer das nun zu Ende gelesen hat und mir antwortet ist echt mein Held!!!!!!
21.05.2010, 20:40	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte bitte bitte bitte bitte.
22.05.2010, 13:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein: Du musst die Einselemente $\begin{eqnarray} 1_1\in R_1,1_2 \in R_2 \end{eqnarray}$ unterscheiden. Es gibt nicht die "1" als Einselement eines beliebigen Rings. zu a) Wenn die Ringe $\begin{eqnarray} R_1,R_2 \end{eqnarray}$ kommutativ sind, dann ist es auch $\begin{eqnarray} R=R_1\times R_2 \end{eqnarray}$ . Den Beweis hast du schon fertig, du musst ihn nur noch verstehen. zu c) Betrachte z.B. $\begin{eqnarray} (1_1,0_2)\cdot(0_1,1_2) \end{eqnarray}$ Ich wollte schon immer mal ein Held!!!!!!! sein.
22.05.2010, 14:41	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal danke mein Held. Das die beiden Ringe $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ verschiedene Einselemente haben, hatte ich schon fast vergessen danke. Aber hat der Ring R dann nun etwa zwei Einselemente oder doch nur eins?Also kann ein Ring mehrere Einselemente haben?Ich muss ja schließlich R daraufhin untersuchen, ob es ein Ring ist oder nicht.Also müsste ich es doch mit dem Einselement aus R testen oder? Wenn ich mir meinen dritten Punkt anschaue. Da habe ich ja überprüft,ob für meinen Ring gilt 1 $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ r = r $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ 1 = r Wie müsste ich das denn dann korrekterweise aufschreiben? Muss ich das einmal für das Einselement aus $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ und einmal aus $\begin{eqnarray} R_2 \end{eqnarray}$ überprüfen? Das mit dem kommutativ überleg ich mir gleich nochmal. Und zu (c) Da bin ich etwas verrirrt. Wenn ich mir diese Multiplikation ansehe ist ja ( $\begin{eqnarray} 1_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0_2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} 0_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 1_2 \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} 1_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1_2 \end{eqnarray}$ ) Das wäre ja dann gleich ( $\begin{eqnarray} 0_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0_2 \end{eqnarray}$ ) ( Welche Argumentation gilt hier eigentlich? Irgendwas mal 0 gibt immer 0 , oder dass das Einselement bei der Mltiplikation nichts verändert? ) Jetzt weiß nicht nicht genau, was ich daran sehen soll. Das der Ring halt wirklich nullteilerfrei ist?
22.05.2010, 15:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu c) Das eindeutig bestimmte Nullelement im Produktring $\begin{eqnarray} R=R_1\times R_2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (0_1,0_2) \end{eqnarray}$ . Das hast du unter a) gezeigt, oder hättest es zeigen sollen, denn damit wird $\begin{eqnarray} (R,+) \end{eqnarray}$ zur Gruppe. Jetzt haben wir in diesem Beispiel zwei von diesem Nullelement verschiedene Ringelemente, deren Produkt $\begin{eqnarray} (1_1,0_2)\cdot(0_1,1_2)=(0_1,0_2) \end{eqnarray}$ ergibt. Solche Elemente nennt man Nullteiler, also ist der Produktring R niemals nullteilerfrei. zu a) und b) musst du immer $\begin{eqnarray} 1_1,1_2 \end{eqnarray}$ schreiben, wenn du die Einselemente aus $\begin{eqnarray} R_1,R_2 \end{eqnarray}$ meinst, also z.B. $\begin{eqnarray} (1_1,1_2)\cdot (r_1,r_2)=(1_1r_1,1_2r_2)=(r_1,r_2)=(r_11_1,r_21_2)=(r_1,r_2)(1_1,1_2) \end{eqnarray}$ , womit bewiesen ist, dass $\begin{eqnarray} (1_1,1_2) \end{eqnarray}$ das Einselement von R ist.
22.05.2010, 16:04	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar , tausend dank!
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