Volumenintegral eines Zylinders mit Gauss

21.05.2010, 11:41	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral eines Zylinders mit Gauss Hallo, ich habe nun folgende Aufgabe: [attach]14758[/attach] Ich gehe mal davon aus, dass es sich um einen Zylinder handelt. das Volumenintegral müßte dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \int\int\int_Z div \vec{F} \, dv \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} div\vec{F}=\begin{pmatrix} 2x+ 2y + 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in Polarkoordinaten: $\begin{eqnarray} x=cos\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=sin\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dv=r \,dr\, d\phi \,dz \end{eqnarray}$ mit den Grenzen: $\begin{eqnarray} r=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{4} =2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=0...x+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi=0...2\pi \end{eqnarray}$ ist das soweit in Ordnung?
21.05.2010, 11:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gebiet ist ein gewissermaßen ein halber Zylinder, der dadurch entsteht, dass man einen "echten" Zylinder mit dem Durchmesser D=4 und der Höhe h=4, der zentral auf der xy-Ebene steht, durch einen schrägen Schnitt mit dem Winkel 45° in zwei gleiche Hälften zerschneidet.
21.05.2010, 12:12	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, ja jetzt nach dieser Beschreibung kann ich das Gebiet nachvollziehen. aber ist mein Ansatz jetzt richtig bzw. wie gehts weiter?
21.05.2010, 12:33	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass deine Angabe der $\begin{eqnarray} \phi- \end{eqnarray}$ Integrationsgrenzen $\begin{eqnarray} [0;2\pi] \end{eqnarray}$ nicht stimmt. Stell dir vor, du zerschneidest das Gebiet in dünne Scheiben, die parallel zur xy-liegen. Diese Scheiben sind keine Kreise, sondern Kreissegmente. Also kann man für jede dünne Scheibe nicht einfach über den gesamten Kreis integrieren. Zerschneide das Gebiet besser in dünne Scheiben, die parallel zur yz-Ebene liegen. Dann sind die einzelnen Scheiben rechteckig. Ich würde also erst mal bei xyz-Koordinaten bleiben.
21.05.2010, 14:51	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt. also wenn man es sich wie Rechtecke vorstellt, dann wären es Rechtecke die sich in der Höhe und der Breite(in beide Richtungen) immer vergrößern bis zum Mittelpunkt, und dann wird die Breite wieder kleiner und z weiterhin größer. somit wäre der Bereich parallel zur y-z Ebene: -2<=x<=2 0<=y1<=2 ; 0<=y2<= -2 0<=z<=4 oder so ähnlich ??? ich weiß aber jetzt nicht wie ich da vorgehe
21.05.2010, 15:16	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, oder eher so? $\begin{eqnarray} -\sqrt{4-y^2} \leq x\leq \sqrt{4-y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq x+2 \end{eqnarray}$
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24.05.2010, 14:46	Analytiker 1	Auf diesen Beitrag antworten »
sind die Integralgrenzen so richtig?

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