Robinson Aufgabe

21.05.2010, 13:01

Maike92

Robinson Aufgabe

Meine Frage:
Robinson hat festgestellt, dass auf seiner insel folgende wetteregeln gelten:
1. Ist es heute schön, ist es morgen mit 80 prozentiger WK ebenfalls schön
2.Ist heute schlechtes wetter, ist es das auch morgen ebenfalls mit 75 prozent
Aufgabe c:
Heute ist Sonntag und es regnet. Mit welcher Warscheinlichkeit regnet es nächsten Sonntag auch?

Meine Ideen:
Muss man dafür ein Baumsiagramm zeinen und alle möglich Fade kennzeichnen oder kann man da mit Gegenwarscheinlichkeiten rechnen? Ich weiß nicht wo ich ansetzen soll.. Ich hab schon probiert alle möglich Fade aufzuschreiben aber, dass sin so viele, dass ich immer irgendwelche vergesse.. Wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet den richtigen Ansatz für diese Aufgabe zu finden.

21.05.2010, 13:20

ObiWanKenobi

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Für jeden der 7 Tage gibt es zwei Möglichkeiten. Insgesamt also 7^2 = 128 Möglichkeiten.

Ich sehe keine andere Möglichkeit, als alle Pfade zu berechnen, wobei auf der letzten Stufe die Pfade mit "Sonne" nicht notwendig sind. Also 64 Berechnungen und dann die Summe.

21.05.2010, 18:59

BarneyG.

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Na, das geht schon ein bissl eleganter ...

Der Witz bei der Sache ist, dass der Wahrscheinlichkeitsbaum ein Besonderheit aufweist. Egal auf welchem Pfad man etwa nach drei Tagen an einem Regentag angelangt ist, haben die Restpfade alle das gleiche Aussehen. Deshalb bietet es sich hier an, das Problem rekursiv zu lösen.

Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass auf einen Regentag ein Regentag folgt und q die Wahrscheinlichkeit, dass auf einen Sonnentag ein Sonnentag folgt. Dann bestehen doch die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade aus einem Produkt von 7 Faktoren der Gestalt p, (1-p), q und (1-q)

Als Faktor für den letzten Tag sind nur zugelassen p und (1-q)

Die letzten beiden Tage liefert die Summe der Pfade

A1 = p² + (1-p)(1-q)
und
A2 = q (1-q) + (1-q)(1-p)

Die letzten drei Tage liefert

B1 = p * A1 + (1-p) * A2
B2 = (1-q) * A1 + q * A2

Für die letzten 4, 5 und 6 Tage erhält man nacheinander

C1 = p * B1 + (1-p) * B2
C2 = (1-q) * B1 + q * B2

D1 = ...
D2 = ...

E1 = ...
E2 = ...

Weil man von einem Regentag ausgeht, ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit dann für sieben Tage mit

F1 = p * E1 + (1-p) * E2

So kann man ausgehend A1 und A2 sukzessive das gesuchte F1 berechnen.

Grüße

21.05.2010, 20:16

Huggy

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Rekursion ist die richtige Idee. Aber da scheint mit p und q etwas durcheinander gekommen zu sein. Das sieht man schon daran, dass mit den angegebenen Formeln A1 + A2 nicht 1 ergibt.

Sei $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ die Regenwahrscheinlichkeit am Tag n. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} r_{n+1}=pr_n+(1-q)(1-r_n)=(p+q-1)r_n+(1-q) \end{eqnarray*}$

Mit p = 0,75 und q = 0,8 ergibt das:

$\begin{eqnarray*} r_{n+1}=0,55r_n+0,2 \end{eqnarray*}$

Das traurige, aber nicht unplausible Ergebnis ist, dass es langfristig an 44,444... % aller Tage regnet.

21.05.2010, 22:39

BarneyG.

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Zitat:

Das sieht man schon daran, dass mit den angegebenen Formeln A1 + A2 nicht 1 ergibt.

Wenn Freitag ein Regentag ist, dann gibt A1 die Wahrscheinlichkeit an, dass es am Sonntag regnet.

Wenn Freitag kein Regentag ist, dann regnet es am Sonntag mit der Wahrscheinlichkeit A2.

B1 und B2 sind dann die Wahrscheinlichkeiten dafür, wenn der Donnerstag ein/kein Regentag ist ... usw.

A1 und A2 sind also Wahrscheinlicheiten von Regentagen am Ende der Kette (unter unterschiedlichen Voraussetzungen). Wieso sollte denn deren Summe 1 ergeben? A1 und A2 darf man sinnvollerweise überhaupt nicht addieren!

Und mit meiner Rekursionformel komme ich dann auf folgendes Ergebnis

A1 = 0,6125 A2 = 0,3500
B1 = 0,5469 B2 = 0,4025
C1 = 0,5108 C2 = 0,4314
D1 = 0,4909 D2 = 0,4473
E1 = 0,4800 E2 = 0,4560
F1 = 0,4740 <-- das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

Mit deiner Rekursionsformel kommt allerdings 0,4529 heraus ...

Andererseits leuchtet mir deine Herleitung natürlich ein ... fragt sich, ob es sich um Rundungsfehler handelt ... ob ich mich in meinem Excel Spreadsheet verheddert habe ... oder wo der Fehler in meiner Herleitung liegt ... verwirrt

22.05.2010, 00:07

ObiWanKenobi

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Mein Weg: Wie oben beschrieben

Mein Ergebnis: 0,452902418

Ganz gemein: mit 0,133483887 Wahrscheinlichkeit (13,3% !!!!) regnet es die ganze Woche durchgehend!!! Blöde Insel!

Berechnungen siehe Anhang

22.05.2010, 08:06

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Aus der von Huggy angegebenen rekursiven Darstellung ergibt sich auch unmittelbar die explizite Darstellung dieser "verschobenen" geometrischen Folge

$\begin{eqnarray*} r_n = \frac{4}{9} + \left( r_0 - \frac{4}{9} \right) \cdot 0.55^n \end{eqnarray*}$ ,

im vorliegenden Fall auf Startwert $\begin{eqnarray*} r_0 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = 7 \end{eqnarray*}$ anwendbar.

22.05.2010, 08:40

Huggy

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Zitat:

Original von BarneyG.
A1 und A2 sind also Wahrscheinlicheiten von Regentagen am Ende der Kette (unter unterschiedlichen Voraussetzungen). Wieso sollte denn deren Summe 1 ergeben? A1 und A2 darf man sinnvollerweise überhaupt nicht addieren!

Da hatte ich die Inizes 1 und 2 falsch interpetiert. Ich dachte, 1 sei die Wahrscheinlichkeit für Regen und 2 die Wahrscheinlichkeit für Sonnenschein.

Für die Fehlersuche bin ich so früh zu faul. Das ist aber sicher kein Rundungsfehler.

Aus der von Arthur angegebenen expliziten Darstellung ist der Grenzwert 4/9 entsprechend 44,444... % unmittelbar ablesbar.

22.05.2010, 09:38

BarneyG.

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Der Fehler liegt in meinem Spreadsheet ... A2 ist falsch berechnet worden .... die Zahlen müssen richtig lauten:

A1 = 0,6125 A2 = 0,3100
B1 = 0,5369 B2 = 0,3705
C1 = 0,4953 C2 = 0,4038
D1 = 0,4724 D2 = 0,4221
E1 = 0,4598 E2 = 0,4321
F1 = 0,4529

Und damit ist die Welt auch für mich wieder in Ordnung. Big Laugh

Natürlich ist deine Lösung wesentlich einfacher und leistungsfähiger, insbesondere weil man damit die nicht-rekursive Formel herleiten kann.

22.05.2010, 14:56

BarneyG.

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Jetzt muss ich doch noch mal nachfragen ...

Wie kommt man denn von der rekursiven auf die explizite Formel?

(1) a(n+1) = p*a(n) + q

Daraus leitet man doch (mit entsprechenden Voraussetzungen) den Grenzwert a der Folge ab

(2) a = q / (1-p)

Und nun ist doch zu zeigen, dass aus (1) und (2) folgt

(3) a(n) = a + (a(0) - a) * p^n

Klar ... man könnte die explizite Formel durch Induktion beweisen. Wenn man die explizite Formel kennt. Aber wie kann man die explizite Formel herleiten, wenn man sie nicht kennt?

Irgendwie hab ich da den richtigen Dreh noch nicht herausgefunden. verwirrt

22.05.2010, 16:37

Huggy

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Die Rekursionsformel

(1) $\begin{eqnarray*} r_{n+1}=ar_n+b \end{eqnarray*}$

lässt sich umschreiben in

(2) $\begin{eqnarray*} r_{n+1}-c=a(r_n-c) \end{eqnarray*}$

c ist durch Vergleich von (1) und (2) leicht zu bestimmen. Mit $\begin{eqnarray*} s_n=r_n-c \end{eqnarray*}$ hat man dann eine geometrische Folge für $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ .

22.05.2010, 17:27

BarneyG.

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Na super! Knapp und schlüssig. Und da vielleicht nicht jeder mit dieser Skizze klar kommt, hier der ausführliche Beweis:

Sei

(1) $\begin{eqnarray*} r_{n+1} = ar_n + b \end{eqnarray*}$

Setze (v.H.g.)

(2) $\begin{eqnarray*} r_{n+1} - c = a(r_n - c) \end{eqnarray*}$

(1) - (2) $\begin{eqnarray*} c = ar_n + b - a(r_n - c) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

(3) $\begin{eqnarray*} c = \frac{b}{1-a} \end{eqnarray*}$

etwa für 0 < a < 1

Das ist "zufälligerweise" der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} r_n \end{eqnarray*}$ (wobei man sich über die Konvergenz natürlich eingehendere Gedanken machen müsste!)

Setze

(4) $\begin{eqnarray*} s_n = r_n - c \end{eqnarray*}$

(4) in (2) eingesetzt liefert

(5) $\begin{eqnarray*} s_{n+1} = a s_n \end{eqnarray*}$

Dies ist eine geometrische Folge. Also gilt

(6) $\begin{eqnarray*} s_n = a^n s_0 \end{eqnarray*}$

(4) in (6) $\begin{eqnarray*} r_n - c = a^n(r_0 - c) \end{eqnarray*}$

Und damit erhält man

$\begin{eqnarray*} r_n = c + (r_0 - c) a^n \end{eqnarray*}$

Und das war zu zeigen. Danke, Huggy!

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