Tangente bestimmen

21.05.2010, 16:14

Hektrio

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Tangente bestimmen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe es gerade mit dieser Aufgabe zu tun:

An welchen Punkten hat die Funktion eine waagrechte Tangente?

Die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=-3x+\frac{1}{12}x^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ich weiß, dass die erste Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ sein soll, weil die Funktionsgleichung der Tangente keine Steigung besitzt.

Wie ist diese Art von Aufgaben anzugehen?
(Welche Ansätze fehlen mir noch?)

Ich freue mich auf aussagereiche "Postings".

Viele Grüße

Hektrio

21.05.2010, 16:18

riwe

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RE: Tangente bestimmen
"keine ableitung besitzt..." ist etwas locker formuliert.

ansätze fehlen dir keine, du mußt nur dein wissen umsetzen, also die 1. ableitung bilden und = 0 setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.05.2010, 16:19

Equester

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Schau dir dass Schaubild doch genau an?
Wo könnten die Ableitungen sitzen?
Du hast eigentlich schon alles gesagt Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.05.2010, 16:40

Hektrio

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Ich denke an den Extrempunkten, oder?

Aber dann würden die Tangenten einen Punkt tangieren aber einen anderen Punkt auch schneiden, nicht wahr? Das ist das, was mich so hemmt davor, die Aufgabe so anzugehen, wie es mir riwe im Grunde gesagt hat ...

21.05.2010, 16:51

Equester

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Ich hoffe riwe hat nichts dagegen, wenn ich mich deiner bemächtige xD

Hmm, eine Tangente bezieht sich nur auf einen Punkt. von demher ist es egal,
was an anderer Stelle mit ihr passiert. Sie kann demnach ruhig einen anderen Punkt
der Funktion schneiden. Nur...ist die Tangente des Punktes A nicht die Tangente des
Punktes B, den sie schneidet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also schreite voran, wie du es ohnehin vorhattest smile

smile

21.05.2010, 17:29

Hektrio

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Ah, ok.

Also hier die Lösung :

$\begin{eqnarray*} f(x)=-3x+\frac{1}{12}x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-3+0,25x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzung:

$\begin{eqnarray*} -3+0,25x^2=0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} 0,25x^2=3 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x^2=\frac{3}{0,25}=12 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt[]{12} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 =-\sqrt[]{12} \end{eqnarray*}$

Und zu den y-Werten:

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=-3(\sqrt[]{12})+\frac{1}{12}(\sqrt[]{12})^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=ca. -6.928 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_2)=-3(-\sqrt[]{12})+\frac{1}{12}(-\sqrt[]{12})^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_2)=ca. 6,928 \end{eqnarray*}$

Das sieht doch great aus, dankeschön. smile

smile

smile

smile

$\begin{eqnarray*} B_1=(\sqrt[]{12}|-6,928); B_2=(-\sqrt[]{12}|6,928) \end{eqnarray*}$

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21.05.2010, 18:21

Equester

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Passt

Freude

21.05.2010, 18:49

Hektrio

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Super.

Prost

Und wenn wir schon dabei sind. Wie errechnet man Extrempunkte? (Vielleicht auch anhand dieser Funktion)

21.05.2010, 19:08

David_pb

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Hast du eben bereits getan! Was du zusätzlich Prüfen kannst ist ob f''(x) < 0 => relatives Minimum, oder f''(x) > 0 => relatives Maximum gegeben ist.

21.05.2010, 19:35

Hektrio

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Achso nein, ich meinte eigentlich die Wendepunkte, sorry für die Verwirrung.

Trotzdem:

Da kommt doch $\begin{eqnarray*} f''(x)=0,5x \end{eqnarray*}$ raus.

Ist 0,5x größer oder kleiner als 0 ??? Oder soll ich es noch um ein weiteres Mal ableiten? Dann wäre es $\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x)=0,5 \end{eqnarray*}$ .

Und da $\begin{eqnarray*} 0,5 > 0 \end{eqnarray*}$ ist, handelt es sich um ein relatives Maximum, oder wie ???

21.05.2010, 20:10

Equester

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Die zweite Ableitung für einen Wendepunkt soll 0 sein!
Die dritte Ableitung muss dafür aber ungleich 0 sein.

Hat nichts mit "relativem Maximum" zu tun (so wie du es gesagt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Also schau mal, wie du die zweite Ableitung 0 kriegst!
Setz diesen Wert dann in die dritte Ableitung ein!...Ist er 0 oder nicht?
Wenn nicht hast du deinen Wendepunkt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.05.2010, 20:19

Hektrio

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Zitat:

Original von David_pb:
Hast du eben bereits getan! Was du zusätzlich Prüfen kannst ist ob f''(x) < 0 => relatives Minimum, oder f''(x) > 0 => relatives Maximum gegeben ist.

Da waren noch die Extrempunkte gemeint, Equester.

Aber verlassen wir diese nunmal und kommen wir zu dem Wendepunkt.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0,5x \end{eqnarray*}$

Gleich Null setzen?

$\begin{eqnarray*} 0=0,5x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Dritte Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x)=0,5 \end{eqnarray*}$

Und tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} 0,5 \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

Und wie geht es jetzt weiter? Was soll ich wohin einsetzen?

21.05.2010, 20:23

Equester

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Zitat:

Original von Hektrio

Und da $\begin{eqnarray*} 0,5 > 0 \end{eqnarray*}$ ist, handelt es sich um ein relatives Maximum, oder wie ???

Ich habe mich hierauf bezogen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Hmm, ja stimmt so weit!
Jetzt hast du ja die x Koordinate Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also jetzt noch die y Koordinate!
(Du hast ja bei der zweiten Ableitung x=0 gewählt)

21.05.2010, 20:38

Hektrio

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Achso, aber trotzdem, was ist daran falsch? Es wurde doch gesagt, dass wenn die zweite Ableitung größer Null ist, dass es sich um ein relatives Maximum handelt oder habe ich was nicht kapiert? verwirrt

verwirrt

Meinst du es so:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-3(\cdot 0,5)+\frac{1}{12}(0,5)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= ca. -1,489583 \end{eqnarray*}$

Also lautet der eine Wendepunkt (eventuell) $\begin{eqnarray*} P(0,5 | ca. -1,49) \end{eqnarray*}$ ? Idee!

Idee!

21.05.2010, 20:49

Equester

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Nein, nein. Es handelt sich weder um das eine noch um das andere.
0,5 vergisst du mal wieder.

0,5x=0 sollst du finden. Welches x brauchst du, um die Gleichung zu lösen?
Arbeite mit diesem x weiter, in dem du es in die dritte Ableitung setzt.
Das hast du bereits gemacht -> x=0
Und du hast auch festgestellt das die dritte Ableitung ungleich 0 ist!
Also ist das eine Vorraussetzung für einen Wendepunkt.
Setz jetzt dein x (also 0) in die Grundgleichung ein...fertig^^

21.05.2010, 20:53

Hektrio

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Dann kommt (0|0) raus, hurra!

Dankesehr Equester! Wink

Wink

Freude

smile

21.05.2010, 20:55

Equester

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Das ist es Freude

Freude

smile

Kein Ding

Augenzwinkern

Bis iwann

Wink

Wink

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