Orthogonalvektor berechnen

14.06.2004, 13:18	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalvektor berechnen Hi, hab mal wieder ein paar Fragen, könnt ihr mir helfen? Die Orthogonale zu einem Vektor $\begin{align} \(\array{a_1&a_2}\) \end{align}$ im $\begin{align} R^2 \end{align}$ lässt sich, wie ich nach langem Rätseln herausbekommen habe, durch diese Formel berechnen: $\begin{align} Normalenvektor= \frac{\(\array{a_1&a_2}\) \cdot \(\array{cos90&sin90\\-sin90&cos90}\)}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \end{align}$ Meine erste Frage: Warum unterscheiden sich Normale und Vektor in ihrer Länge? Müssten beiden nicht dieselbe Norm/Betrag haben? zweite Frage: Wie kann ich die Orthogonale eines Vektors im $\begin{align} R^3 \end{align}$ und $\begin{align} R^n \end{align}$ berechnen? dritte Frage: Gibt es ein einfacheres Schema mit dem ich den Normalenvektor im $\begin{align} R^2 \end{align}$ berechnen kann, als durch die oben erwähnte Formel?
14.06.2004, 13:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du den maximalen Grad an Umständlichkeit gewählt. Zeichne dir auf Karopapier einen Vektor und drehe ihn in der ein oder anderen Drehrichtung um 90°. Du wirst sehen, daß du nur die Koordinaten vertauschen mußt und bei einer der beiden das Vorzeichen ändern.
14.06.2004, 13:47	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
So kann ich jedoch nur im R² arbeiten - was ist aber mit R³ und R^n? Wie kann ich da den Normalenvektor berechnen? Sobald ich den Vektor $\begin{align} \(\array{a_1&a_2&a_3}\) \end{align}$ mit $\begin{align} \(\array{1&0&0\\0&cos90&sin90\\0&-sin90&cos90}\) \end{align}$ mutlipliziere - heben sich Vektor und Normalenvektor nicht miteinander auf (Skalarprodukt)!
14.06.2004, 14:00	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Im R³ gibt es auf einen Vektor keinen eindeutigen Normalvektor.
14.06.2004, 14:09	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist schon klar! Ich erhalte eben eine Fläche die Orthogonal auf den Vektor befindet und sich konzentrisch ausbreitet. Kann man in der Matrix nicht zwei Elemente durch unbekannte vertauschen? z.B. so: $\begin{align} \(\array{1&0&0\\0&cos90&sin(k)\\0&-sin90&cos(k)}\) \end{align}$ mit $\begin{align} 0 \leq k \leq 180 \end{align}$
14.06.2004, 15:25	matmalign	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs: $\begin{align} Normalenvektor (R^3) = \frac{\(\array{a&b&c}\)\cdot\(\array{a^2\(1-cos \alpha \)+cos \alpha &a \cdot b\(1-cos \alpha \)-c \cdot sin \alpha &a \cdot c\(1-cos \alpha \)+b \cdot sin \alpha \\a \cdot b\(1-cos \alpha \)+c \cdot sin \alpha &b^2 \(1-cos \alpha \)+cos \alpha &b \cdot c\(1-cos \alpha \)-a \cdot sin \alpha \\a \cdot c\(1-cos \alpha \)-b \cdot sin \alpha &b \cdot c\(1-cos \alpha \)+a \cdot sin \alpha & c^2 \(1-cos \alpha \)+cos \alpha }\)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align}$ Jetzt setze ich den Winkel auf 90° und erhalte $\begin{align} Normalenvektor (R^3) = \frac{\(\array{a&b&c}\)\cdot\(\array{a^2&a \cdot b -c&a \cdot c+b \\a \cdot b+c&b^2&b \cdot c-a\\a \cdot c-b&b \cdot c+a & c^2}\)}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align}$ Somit habe ich den orthogonalen Vektor zu $\begin{align} \(\array{a&b&c}\) \end{align}$ gefunden. Ich nehme an, es gibt kein allgemeines Schema um Vektoren im $\begin{align} R^n \end{align}$ zu rotieren. Dennoch bleibt die Frage offen - warum haben ein Vektor und sein Normalenvektor nicht dieselbe Länge?
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15.06.2004, 06:46	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
boah macht ihr das kompliziert, habs mir net genau angeschaut Ein Vektor steht senkrecht (orthogonal) zu einem anderenVektor wenn das Skalarprodukt = 0 ist Ansatz ax + by + cz = 0 Jetzt wähle x und y beliebig aus R und stelle nach z um, fertig Der Vektor $\begin{align} \(\array{x\\y\\z}\) \end{align}$ ist dann orthognal zum ausgansvektor Und wie schon gesagt im R³ gibt es keinen eindeutigen Orthognalen Vektor zu nur einem Vektor Diese Regel gilt im speziellen fuer alle $\begin{align} a \in R^n \end{align}$ edit Hab ich was verplant oder wolltest du garnicht den senkrechten vektor?

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