Nullstellen einer Funktion mit zwei Variablen

21.05.2010, 18:57	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen einer Funktion mit zwei Variablen Meine Frage: Hallo alle miteinander, Ich habe hier ein Problem, bei dem ich einfach nicht weiter komme. Ich habe die Funktion $\begin{eqnarray} f\left(x;n\right) = \left(2x^{2\cdot x+1} \right)^{2} -2x^{2\cdot x+1} -n^{2} -n \end{eqnarray}$ , deren Nullstellen ich suche. Aber wie mache ich das bei Funktionen mit zwei Variablen? Natürlich gibt es die trivialen Nullstellen, bei denen man davon ausgeht, dass gilt $\begin{eqnarray} n=2x^{2\cdot x+1} \end{eqnarray}$ . Jedoch habe ich ein wenig getestet und herausgefunden, dass es weitere "nichttriviale" Nullstellen gibt für: $\begin{eqnarray} n=7 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=31 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=127 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=8191 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=6 \end{eqnarray}$ usw. (ich habe nur ein paar Zahlen ausprobiert, daher weiß ich nicht, ob es in dem Zahlenraum 1-8191 nicht noch weitere Nullstellen gibt...) Wie kann ich an weitere solche Nullstellen kommen? Gibt es ein bestimmtes Verfahren, oder ist die Mathematik noch nicht so weit. Ich weiß nicht, wie adäquat dieses Beispiel in Bezug auf meine Frage ist, aber bei der riemannschen Zetafunktion hat man ja auch extrem viele Stellen mit Computern errechnet. Irgendein Verfahren muss dafür ja verwendet werden. Zwar bin ich in erster Linie auf der Suche nach Nullstellen, für die x und n natürlich sind, was jedoch glaube ich hier zuviel verlangt ist. Ich wäre über jede Art von Hilfe sehr dankbar. Mit freundlichen Grüßen, PeterH Meine Ideen:
21.05.2010, 19:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion mit zwei Variablen $\begin{eqnarray} n=7,x=1 \end{eqnarray}$ ist keine Nullstelle von $\begin{eqnarray} f\left(x;n\right) = \left(2x^{2\cdot x+1} \right)^{2} -2x^{2\cdot x+1} -n^{2} -n \end{eqnarray}$ , wie man durch Einsetzen leicht überprüft: $\begin{eqnarray} f(1,7) = 2^2 - 2 - 7^2-7 = -54 \end{eqnarray}$ . Hast du dich vielleicht bei der Funktion verschrieben, und meinst in Wahrheit $\begin{eqnarray} f\left(x;n\right) = \left((2x)^{2\cdot x+1} \right)^{2} -(2x)^{2\cdot x+1} -n^{2} -n \end{eqnarray}$ . EDIT: Ach nein, jetzt sehe ich es - du meinst $\begin{eqnarray} f\left(x;n\right) = \left(2^{2\cdot x+1} \right)^{2} -2^{2\cdot x+1} -n^{2} -n \end{eqnarray}$ Danke für das Rätselraten.
21.05.2010, 19:32	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, da habe ich die falsche Funktion hingeschrieben oder mich mit LaTex vertan. In Wirklichkeit meine ich die Funktion $\begin{eqnarray} f\left(x;n\right) =\left(2^{2\cdot x+1} \right)^{2} -2^{2\cdot x+1} -n^{2} - n \end{eqnarray}$ .
21.05.2010, 19:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab's inzwischen durch Forensik rausgekriegt. Die Substitution $\begin{eqnarray} z = 2^{2x+1} \end{eqnarray}$ und das anschließende Lösen der entstehenden quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} z^2 - z -n^2-n = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (z-n-1)(z+n) = 0 \end{eqnarray}$ bringt sofort die Faktorisierung $\begin{eqnarray} f(x;n) = (2^{2x+1}-n-1)(2^{2x+1}+n) \end{eqnarray}$ und damit ziemliche Klarheit über die Lösung.
21.05.2010, 19:38	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das ging ja schnell . Das hätte ich nicht gedacht

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