Integral mit Riemann-Summen

21.05.2010, 20:40

scream_mw

Integral mit Riemann-Summen

Hey Leute,

es geht um folgende Aufgabe:
Berechnen Sie das Riemann-Integral der Funktion f(x) = x auf dem Intervall [a,b] mit Hilfe von oberen und unteren Riemann-Summen.

Und zwar hab' ich bereits einen Löusungsweg zu Papier gebracht, allerdings bekomme ich nicht das erwartete Ergebnis.

Zuerst habe ich folgende Partitionen gewählt:
$\begin{eqnarray*} x_{i}:=(b-a)\cdot \frac{i}{n}+a \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mir die Obersummen betrachtet und ausgenutzt, dass für alle
$\begin{eqnarray*} sup(f(x)) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[x_{i-1} ,x_{i}\right] \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} sup(f(x))=x_{i} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich dies in die Summe ein:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n sup(f(x))\cdot (x_{i}-x_{i-1}) \end{eqnarray*}$

usw. ...

Meine Frage jetzt: Hab' ich bis hierhin bereits einen Fehler gemacht? Vielleicht bei der Wahl der Partition?!

Bitte um Hilfe ...

21.05.2010, 22:16

wisili

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RE: Integral mit Riemann-Summen
Es ist alles richtig.
Setze noch $\begin{eqnarray*} (x_{i}-x_{i-1}) = \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ und ersetze (wie angekündigt) sup f(x) durch $\begin{eqnarray*} (b-a)\cdot \frac{i}{n}+a \end{eqnarray*}$ .
Die Summe ist arithmetisch: Brauche die entsprechende Formel. (Es genügt, i zu summieren, Faktoren können vor die Summe geschrieben werden.)

21.05.2010, 22:46

scream_mw

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RE: Integral mit Riemann-Summen
Super, genau das hab' ich dann auch gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n ((b-a)\frac{i}{n} +a)\cdot \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (b-a)²\frac{n²+n}{2n²}+a\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$

Wenn ich diesen Ausdruck nun für n --> unendlich laufen lasse, erhalte ich doch:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (b-a)² \end{eqnarray*}$

Doch müsste das Ergebnis nicht lauten:
$\begin{eqnarray*} \frac{b²-a²}{2} \end{eqnarray*}$

???

Ich weiß, irgendwo hab' ich einen blöden Fehler xDDD

21.05.2010, 23:01

gonnabphd

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Zitat:

Ich weiß, irgendwo hab' ich einen blöden Fehler xDDD

Righty-right. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^n \left((b-a)\frac{i}{n} +a\right) = \frac{b-a}{n} \cdot \sum\limits_{i=1}^n (b-a)\frac{i}{n} + \frac{b-a}{n} \cdot n \cdot a \end{eqnarray*}$

Wink

21.05.2010, 23:28

scream_mw

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Ah ... ^^"

Hab' nicht beachtet, dass beim "herausziehen" von a aus der Summe das Ganze n-mal geschehen muss ...
Tja, kann ja mal passieren Big Laugh

Ok, super, vielen Dank an euch!

22.05.2010, 17:29

scream_mw

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Vielleicht noch eine kleine Frage zum Abschluss dieser Aufgabe:

Ist damit das Integral berechnet, oder muss ich noch die Untersummen betrachten, um festzustellen, ob diese gegen denselben Grenzwert laufen?!

Klar ist, dass dies passieren wird, nur ist es "mathematisch" nötig?

22.05.2010, 17:43

gonnabphd

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Zitat:

Berechnen Sie das Riemann-Integral der Funktion f(x) = x auf dem Intervall [a,b] mit Hilfe von oberen und unteren Riemann-Summen.

Die Aufgabe sagt: Tu es.

"Mathematisch" nötig ist es natürlich nicht, da man ja zeigen kann (und das natürlich auch muss), dass für jede Riemann-integrierbare Funktion jede Riemann-Summe gegen den gleichen Grenzwert (nämlich das Riemannintegral) geht, insbesondere also für die stetige Funktion f(x)=x und die Ober- bzw. Untersummen.

Die Berechnung der Untersumme benötigt jedoch nur kleine Modifizierungen, ist also schnell erledigt.

23.05.2010, 19:32

scream_mw

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RE: Integral mit Riemann-Summen
Folgende Aufgabe bereitet mir ein wenig Kopfzerbrechen, es geht wieder umd die oberen und unteren Riemann-Summen:

Es seien $\begin{eqnarray*} f:[a,b]->\mathbb R \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar und $\begin{eqnarray*} \lambda ,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \beta >0 \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie mit Hilfe der oberen und unteren Riemann-Summen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx =\int_x^y\! f(x-\lambda ) \, dx \end{eqnarray*}$
mit x=a+Lambda, y=b+Lambda

Mein Start:
Da f auf dem Intervall [a,b] Riemann-integrierbar ist, exisitert eine Partition von [a,b].
Damit sind die Ober- bzw. Untersummen definiert:
$\begin{eqnarray*} O(f)=\sum\limits_{i=1}^n sup(f(x))\cdot (x_{i}-x_{i-1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} U(f)=\sum\limits_{i=1}^n inf(f(x))\cdot (x_{i}-x_{i-1}) \end{eqnarray*}$

Soweit nicht allzu schwer ...
Die Aussage und damit die Gültigkeit ist soweit verständlich, ich verschiebe das Integrationsintervall um ein "+Lambda" und gleiche dies aus, indem ich den Funktionsgraphen um "-Lambda" verschiebe. Somit bleibt das Integral dasselbe.

Mein Problem ist es nun das Ganze mit den oberen und unteren Riemann-Summen herzuleiten.
Ist es richtig, wenn ich jetzt einfach die Partitionen um "+Lambda" verschiebe und dasselbe mit den Suprema und Infima mache?

24.05.2010, 01:22

Max Simon

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RE: Integral mit Riemann-Summen
Hallo.

Also ich sehe hier auch nur ein formales Problem.
Ich hab einfach mal versucht,das aufgeschrieben, was für dich und mich offensichtlich ist.

Worauf man zuvor vielleicht noch achten muss, ist dass die durch die Riemann-Integriebarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ garantiert existierende Partition $\begin{eqnarray*} a=x_0<x_1<...<x_n=b \end{eqnarray*}$ nicht dieselbe im Intervall $\begin{eqnarray*} [a+\lambda,b+\lambda] \end{eqnarray*}$ sein muss. Setze ich nun aber $\begin{eqnarray*} \forall i=0,...,n: \tilde x_i:=x_i+\lambda \end{eqnarray*}$ , so gilt dann $\begin{eqnarray*} a+\lambda=\tilde x_0<\tilde x_1<...<\tilde x_n=b+\lambda \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{a+\lambda}^{b+\lambda} \! f(x-\lambda) \, dx=O(f-\lambda,a+\lambda,b+\lambda)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n [\underset{\tilde x_{i-1}\leq x\leq\tilde x_i}{sup}(f(x-\lambda))\cdot(x_i+\lambda-(x_{i-1}+\lambda))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n [\underset{x_{i-1}+\lambda\leq x\leq x_i+\lambda}{sup}(f(x-\lambda))\cdot(x_i+\lambda-(x_{i-1}+\lambda))]=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n [\underset{x_{i-1}\leq x\leq x_i}{sup}(f(x))\cdot(x_i-x_{i-1})]=O(f,a,b)=\int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube, dass das so korrekt ist.
Die Existenz der Partition $\begin{eqnarray*} \left\{\tilde x_i\right\} \end{eqnarray*}$ ist also durch die Existenz der Partition $\begin{eqnarray*} \left\{x_i\right\} \end{eqnarray*}$ gesichert.

LG Max

25.05.2010, 13:43

scream_mw

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RE: Integral mit Riemann-Summen
Ok, so ähnlich hab' ich es jetzt auch ...
Hab' noch ein paar Erklärungen zu den einzelnen Schritten verfasst.
Analoges gilt natürlich für die Untersummen.

Es ist wohl, wie du sagst, eher ein formales als mathematisches Problem ...
THX

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Integral mit Riemann-Summen

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