homogene DGLn mit konstanten Koeffizienten

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22.05.2010, 12:27	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
homogene DGLn mit konstanten Koeffizienten Hallo, ich möchte die allgemeine Lsg. für die DGL $\begin{eqnarray} y''+2y-3y=0 \end{eqnarray}$ ermitteln und wollt von Euch wissen ob meine Lösung korrekt ist oder ob ich etwas übersehen habe. meine bisherigen Überlegungen: DGL: $\begin{eqnarray} y''+2y-3y=0 \end{eqnarray}$ charakteristische Gleichung: $\begin{eqnarray} \lambda ^2+2\lambda -3=0 \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} \lambda _{1} =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _{2} =-3 \end{eqnarray}$ also lautet die allg. Lösung der DGL $\begin{eqnarray} y= C_{1}e^x+C_{2}e^{-3x} \end{eqnarray}$ Was meint Ihr dazu?
22.05.2010, 13:16	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls deine Gleichung $\begin{eqnarray} y''+2y'-3y=0 \end{eqnarray}$ lautet, sieht die Antwort ganz passabel aus.
22.05.2010, 13:27	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so lautet sie. Danke Nun habe ich die DGL $\begin{eqnarray} y'''-7y'-6y=0 \end{eqnarray}$ charakteristische Gleichung ist: $\begin{eqnarray} \lambda^{3}-7\lambda -6=0 \end{eqnarray}$ Aber wie gehts nun weiter, kann mir jemand einen kleinen Hinweis geben wie ich auf $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{3} \end{eqnarray}$ komme?
22.05.2010, 13:33	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, eine Lösung kannst Du raten (ist echt einfach! ). Dann Polynomdivison und lösen der verbliebenen qaudratischen Glecihung.
22.05.2010, 13:37	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
Raten? sorry aber ich steh echt auf'm Schlauch und durch welches Polynom soll ich denn dividieren?
22.05.2010, 13:47	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Schritt 1: Wenn mann sich die Gleichung anguckt, kann mann eine Lösung erahnen, weil sie ganzzahlige Vorfaktoren hat. Überlegt mal, du hast eine 7 und eine 6....wie bekommst du es hin, das links des Gleichheitszeichen eine Null steht?
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22.05.2010, 14:22	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das ist dann sicher -1 und wie geht's dann weiter..
22.05.2010, 15:26	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Schritt 2: Wenn $\begin{eqnarray} \lambda_1 \end{eqnarray}$ eine Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} P(\lambda) \end{eqnarray}$ ist, kannst Du das Polynom durch $\begin{eqnarray} (\lambda - \lambda_1) \end{eqnarray}$ via Polynomdivision teilen. In diesem Fall also $\begin{eqnarray} \lambda^3 -7\;\lambda+6 : (\lambda-(-1))=\lambda^3 -7\;\lambda+6 : (\lambda+1)... \end{eqnarray}$ Polynomdivision haste bestimmt schon mal gemacht. Da bekommst du dann ein weiteres quadratisches Polynom. Das kannst Du lösen.
23.05.2010, 09:16	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und guten Morgen, habe nun durch Polynomdiv. folgende quadr. Gleichung raus: $\begin{eqnarray} \lambda^{2}+\lambda -6 \end{eqnarray}$ Rest ist -12 kann ich den Rest für die Ermittlung der allgemeinen Lsg einfach vernachlässigen? die allgemeine Lsg lautet dann: $\begin{eqnarray} y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}+C_3e^{-2x} \end{eqnarray}$ Richtig? Grüße ElBanditos
23.05.2010, 09:46	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Das quadratische Polynom ist noch nicht ganz richtig. Ich verrate jetzt mal die Lösung, weil du ja den Rechenweg jetzt nachvollziehen kannst. Es soll $\begin{eqnarray} \lambda^2-\lambda-6 \end{eqnarray}$ rauskommen, ohne Rest. Lustigerweise scheint deine DGL dann aber richtig zu sein...
23.05.2010, 10:38	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
versteh ich nicht, ich komme immer wieder aufs Gleiche erster Summand des Quotienten ist $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda^{3}-7\lambda -6 : (\lambda -1)=\lambda^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda^2(\lambda-1)=(\lambda ^3-\lambda ^2) \end{eqnarray}$ neuer Rest ist nach der Subtaktion von $\begin{eqnarray} (\lambda^3-\lambda^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda^2-7\lambda-6\lambda-1 : (\lambda - 1 )=\lambda^2 \end{eqnarray}$ der nächste Summand des Quotienten ist dann $\begin{eqnarray} \frac{\lambda^2}{\lambda}=\lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda * (\lambda - 1) = (\lambda ^2 - \lambda) \end{eqnarray}$ mein neuer Rest ist dann $\begin{eqnarray} -6\lambda -6 : (\lambda - 1)=\lambda^2 -\lambda \end{eqnarray*}$ die weiteren Schritte spar ich mir mal hab ich bis hier hin schon etwas falsch gemacht und wie kommst du auf eine Lsg ohne Rest? Meine Vermutung ist ein Vorzeichenfehler meinerseits, ich hab ihn aber bisher noch nicht gefunden
23.05.2010, 10:50	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Vorzeichenfehler ist beim Teiler: nicht $\begin{eqnarray} (\lambda-1) \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} (\lambda+1) \end{eqnarray}$ , denn deine Nullstelle ist ja bei $\begin{eqnarray} \lambda_1=-1 \end{eqnarray}$ und du mußt durch $\begin{eqnarray} (\lambda-\lambda_1) \end{eqnarray}$ teilen.
23.05.2010, 11:39	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
genau, danke für deine Hilfe kannst du mir auch bei dieser Aufgabe helfen: $\begin{eqnarray} y''-y'=0 \end{eqnarray}$ mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \lambda_{1/2}= \pm 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=C_1e^x+C_2e^{-x} \end{eqnarray}$ die Musterlösung lautet aber $\begin{eqnarray} y=C_1+C_2e^{-x} \end{eqnarray}$
23.05.2010, 11:44	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer eins nach dem anderen, wie lautet hier die charakteristische Gleichung?
23.05.2010, 11:49	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lambda^2-\lambda=0 \end{eqnarray}$
23.05.2010, 11:56	Muff Potter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ist -1 eine Nullstelle? Muss weg
23.05.2010, 12:12	ElBanditos	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, nur 0 und +1 ich habe falsch umgestellt und die Wurzel gezogen, aber besser/richtiger ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auszuklammern $\begin{eqnarray} \lambda ^2 - \lambda = \lambda(\lambda-1)\\ \lambda _1=0 \\ \lambda _2 = 1 \end{eqnarray}$ und dann komm ich auch auf $\begin{eqnarray} y=C_1e^0+C_2e^x= C_1 + C_2e^x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e^0=1 \end{eqnarray}$ Bis dann

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