Die Exponentialfunktion von Matrizen

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Jack12 Auf diesen Beitrag antworten »
Die Exponentialfunktion von Matrizen
Meine Frage:
Hallo an alle,
Ich habe ein paar Verständnisprobleme mit der Exponentialfunktion von Matrizen. Siehe die 2 Bilder.

Des weiteren verstehe ich nicht wirklich das Schema bei einer Jordansche Normalform nicht, die ist erst im nächsten Semester dran daher fällt es mir sehr schwer sie nachzuvollziehen. Und ich verstehe nicht was das Minimalpolynom für eine Bedeutung hat.

Wenn sich einer Zeit nehmen könnte es mir ab der Jordanschen Normalform zu erklären wäre ich demjenigen sehr dankbar.

Meine Ideen:
Satz 6.4.5 verstehe ich einigermaßen ,meine Frage ist dazu: Ist meine Matrix A eine nilpotente Matrix vom Index n und dadurch bricht die unendliche Reihe in der Definition von nach endlich vielen Summationen ab?
Jack12 Auf diesen Beitrag antworten »

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Jack12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein wenig Hilfe fürs Verständnis wäre nicht schlecht habe ja eigene Ideen wie es ungefähr abläuft aber mir fehlen immer ein paar Schritte.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix A ist im allgemeinen nicht nilpotent. Wie kommst Du darauf? Man kann aber A in einen Diagonal- und einen Nilpotenzanteil zerlegen und dann die Exponentialdarstellung davon suchen.
Auf der ersten Seite wird nur ein einzelnes Jordankästchen behandelt. Hast Du das bis dahin verstanden?

Auf der zweiten Seite wird das ganze dann nur noch mittels bekannten Resultaten verallgemeinert.

Gruß,
Reksilat.
Die Zahl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich gefragt wie ich auf das Polynom g komme: Ich dachte mir wenn die Matrix A eine Nippotente Matrix sei, dann bricht die unendliche Reihe in der Definition von nach endlich vielen Summationen ab. Sonst habe ich die erste Seite verstanden, ist banal gesagt ja nur einsetzen und gleichsetzen. Insgesamt ist die erste Seite nur die Berechnung und Darstellung eines einzelnes Jordankästchen.
Seite 2 ist die Berechnung von mit Hilfe der Jordan Normalform.
Mit errechne ich dann die Jordanmatrix und dann zurücktransformiert erhalte ich dann oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der ersten Seite steht mit . Diese Matrix ist nicht nilpotent!
Wie willst Du verstehen, was auf der ersten Seite geschieht, wenn Du nicht mal siehst, dass A nicht nilpotent ist?

EDIT: Und bitte nur einen Nickname verwenden. Danke!
 
 
Jack12 Auf diesen Beitrag antworten »

So habe ich es mir erklärt. Habs nun verstanden,dass es nur ein nilpotenzanteil ist. Und nicht die matrix A nilpotent ist. Doch den rest verstehe ich auf seite 1, daher informiere ich mich hier genau weil ich einiges nicht direkt sehe oder? Stimmt das was ich über seite 2 geschrieben habe?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Auf Seite zwei nimmt man eine beliebiege Matrix A, bringt diese in JNF und wendet dann von Seite eins an, dass die einzelnen Jordanblöcke in Exponentialform geschrieben werden können.
Nun muss man nur noch erkennen, warum man damit auch eine Exponentialform der JNF erkennt und warum damit auch eine Exponentialform besitzt.

Ob Du etwas wirklich verstanden hast, kann ich leider nicht beurteilen.

Gruß,
Reksilat.
Jack12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fange mal ganz von vorne an, die Seiten, die ich hochgeladen habe fangen ja mittendrin an. Also erst untersucht man ob die bisherigen Rechengesetze der Exponentialfunktion auch für Matrizen gelten. Danach macht man sich die Eigenschaften klar über die Eigenwerte usw. und ob die Matrix diagonalisierbar ist. Eine lineare Abbildung, die in der
alten Basis durch eine Matrix A repräsentiert wird, wird dann in der neuen Basis durch
die Matrix dargestellt. Und dadurch kann man leicht berechnen.

Bsp: , die Berechnung über die Reihendarstellung wird hier schon sehr lange dauern.
Aber für die Matrizen und der inversen ist die diagonalisierbar. Und zurücktransformiert erhalten wir :
.

Dieses Verfahren lässt sich auch anwenden, wenn die gegebene Matrix nicht diagonalisierbar
ist und dafür verwenden wir dann die Jordansche Normalform.
Also die 2Seiten, die ich hochgeladen habe sind über die Jordansche Normalform und wie man mit ihrer Hilfe nicht diagonalisierbare Matrizen berechnen kann oder bin ich jetzt total durcheinander?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmh, was meinst Du mit "wie man [...] nicht diagonalisierbare Matrizen berechnen kann "? verwirrt
Es geht darum, für eine beliebige Matrix aus eine Darstellung als Bild des Matrixexponentials zu bestimmen.

Die Abbildung (das Matrixexponential) ist wohldefiniert und bildet surjektiv auf ab.
Und im obigen Satz wird eben eine Umkehrfunktion konstruiert - siehe dazu auch Matrixlogarithmus. Für diagonalisierbare Matrizen ist die Konstruktion recht leicht, für alle anderen benötigt man dann die Jordansche Normalform.

Gruß,
Reksilat.
Jack12 Auf diesen Beitrag antworten »

Diagonalisierbare Matrizen sind leicht auszurechnen, für alle anderen benötigt man dann die Jordansche Normalform. Berechnen war wohl das falsche Wort, aber ich meinte es genau so wie du es beschrieben hast.

Mit deinem Stichwort Matrixlogarithmus hast du mir eben sehr weitergeholfen, ich wusste nicht wirklich wann ich Beispiele geben sollte zur Berechnung von aber nun weiß ich, dass ich die Beispiele erst bringen kann, wenn ich den Matrixlogarithmus erklärt habe. Ich bin derzeit an einer Zusammenfassung kann ich sie dir mal schicken oder soll ich die hier hochladen, dass du ma rüberschaust?

Edit: LaTeX-Tag korrigiert. Gruß, Reksilat.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will nicht versprechen, irgendetwas gegenzulesen, deshalb lade das lieber hier hoch, dann kann jeder andere auch malreingucken und ich fühle mich nicht verpflichtet etwas zu tun, worauf ich womöglich keine Lust habe.
Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
Jack12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok sehr ehrlich von dir, ich kanns auch ganz gut verstehen, aber danke für deine Hilfe ich habe das ganze Prinzip ein wenig besser verstanden, nach dem ich mir die Jordansche Normalform angeschaut habe und den Matrixlogarithmus. Dauert eh noch eine Weile bis ich alles im latex geschrieben habe.
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