volumen eines körpers, der durch die geschlossene fläche begrenzt wird. zylinderkoordinaten

22.05.2010, 16:13	nuke	Auf diesen Beitrag antworten »
volumen eines körpers, der durch die geschlossene fläche begrenzt wird. zylinderkoordinaten hallo mal wieder diesmal soll ich folgende aufgabe lösen: bestimmen sie das volumen des körpers, der durch die geschlossene fläche $\begin{eqnarray} F:4z=16-x^{2}-y^{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z\geq 0 \end{eqnarray}$ begrenzt wird. hinweis: verwenden sie zylinderkoordinaten ich habe erstmal so angefangen: $\begin{eqnarray} F(x,y,z)=-x^{2}-y^{2}-4z+16=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=f(x,y)=-x^{2}-y^{2}+16 \end{eqnarray}$ soweit sollte das noch richtig sein. mich verwirrt nur die 16... wie kann ich das als parameterdarstellung schreiben? ich wollte eigentlich x=u, y=v und $\begin{eqnarray} z=u^{2}+v^{2} \end{eqnarray}$ wählen. das haben wir bei der übungsaufgabe auch gemacht... kann man das so machen? g.
22.05.2010, 17:12	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wär das: $\begin{eqnarray} z=h=16-r^2 \end{eqnarray}$ ? (Müsste ein Drehkörper einer Parabel sein)
27.05.2010, 20:47	nuke	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht schon mal ganz gut aus. einige bei mir haben das auch so gemacht. ich könnte dann $\begin{eqnarray} r=\sqrt{16-4z} \end{eqnarray}$ nehmen. aber wie geht das dann weiter? die haben da ein dreifach- integral aufgestellt. ich weiß nur nicht wie und mit welchen grenzen. g.
27.05.2010, 22:21	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss sich entscheiden: (Dreifach-)Integrieren mit Polarkoordinaten oder Integrieren nach z (über den Querschnitt für festes z). Im letzteren Fall sind die Querschnitte Kreise x^2+y^2 = 16-4z mit Radius $\begin{eqnarray} \sqrt{16-4z} \end{eqnarray}$ und somit mit dem Inhalt pi(16-4z): $\begin{eqnarray} V = \int_0^4 \! \pi (16-4z) \, dz = \end{eqnarray}$
27.05.2010, 22:38	nuke	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^4 \! 16\pi-4\pi z \, dz \end{eqnarray}$ woher weiß ich denn die grenzen?
27.05.2010, 22:40	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist z>=0. Andrerseits kann z höchstens 4 werden: Der Querschnitt wird dann 0. [attach]14857[/attach]
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27.05.2010, 22:44	nuke	Auf diesen Beitrag antworten »
dann sollte das $\begin{eqnarray} 16\pi +(-32\pi ) \end{eqnarray}$ oder hab ich mich vertan? das kann nicht sein, da $\begin{eqnarray} 32\pi \end{eqnarray}$ rauskommen soll. jedenfalls hatten das die anderen. oder ich hab mich verguckt...
27.05.2010, 23:15	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte $\begin{eqnarray} 64\pi +(-32\pi ) = 32\pi \end{eqnarray}$ Die Stammfunktion heisst 16pi z - 2pi z^2.
27.05.2010, 23:45	nuke	Auf diesen Beitrag antworten »
jo stimmt. hab das z vergessen.
28.05.2010, 17:38	nuke	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. also das ergebnis stimmt schon mal. wie funktioniert das mit den zylinderkoordinaten? g.

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