Zweites Problem bei Ableitung

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22.05.2010, 17:30	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweites Problem bei Ableitung Meine Frage: Tachchen zusammen, ich habe erneut Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac{2}{3}x^4 + \frac{16}{3}x^2 -8 \end{eqnarray}$ Die erste Ableitung hierzu habe ich schon gerechnet: $\begin{eqnarray} f'(x)=-\frac{8}{3}x^3+\frac{32}{3}x \end{eqnarray}$ Hier noch beides in visueller Form: (rot-> Funktion und grün->Ableitung) Meine Ideen: Aufgabe ist es, die "Kurvenpunkte" anzugeben, in welchen die Funktion die Steigung 8 hat. Also was klar ist, ist, dass die Gerade (Tangente?) die Funktionsgleichung $\begin{eqnarray} f(x)=8x+n \end{eqnarray}$ hat. Aber wie mache ich jetzt weiter, um n herauszukriegen? Ich habe ja keinen Punkt gegeben!?
22.05.2010, 17:32	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagt dir denn die Ableitung an? (Die erste Ableitung)
22.05.2010, 17:35	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also jetzt wo ich auf die Funktion gucke, fällt mir grade auf, dass die Schnittpunkte der Ableitung mit der eigentlichen Funktion die Tangentenpunkte sein könnten. Ist das so?
22.05.2010, 17:39	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
In Wikipedia steht, dass sie Zitat: "lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle x0" beschreibt.
22.05.2010, 17:43	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner ersteren Aussage...Nein, ich glaube das ist nicht der Fall! Die Schnittpunkte haben nichts mit deiner Frage zu tun! Mit Verhalten ist gemeint "Steigung" Was hatten wir den gestern? Die Tangentensteigung soll 0 sein -> Also haben wir die erste Ableitung 0 gesetzt
22.05.2010, 17:51	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Also geht es jetzt so weiter: $\begin{eqnarray} 0=-\frac{8}{3}x^3+\frac{32}{3}x \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} -8x^3+32x=0 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} x(-8x^2+32) \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} -8x^2=-32 --> x^2=4 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} x_2=2 ; x_3=-2 \end{eqnarray}$ Und jetzt soll ich die x-Werte in die Geradengleichung oder in die Funtkionsgleichung eingeben, oder wie mache ich weiter?
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22.05.2010, 17:54	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment, moment, jetzt haste mich falsch verstanden Gestern hatten wir die Frage nach der Steigung 0. Heute ist die Frage nach der Steigung 8 ..also?
22.05.2010, 18:15	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, das ist schon verständlicher. Das heißt in Zahlen: $\begin{eqnarray} 8=-\frac{8}{3}x^3+\frac{32}{3}x \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 0=-8x^3+32x-24 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} 0=x^3-4x+3 \end{eqnarray}$ Polynomdivision? Dann wäre x = 1 $\begin{eqnarray} (x^3-4x+3)/(x-1) = x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2(x-1)=x^3-x^2 \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} (x^2-4x+3)/(x-1)=x^2+x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x-1)=x^2-x \end{eqnarray}$ Dann $\begin{eqnarray} (-3x+3)/(x-1)=x^2+x-3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -3(x-1)=-3x+3 \end{eqnarray}$ Also ist reduzierte Form $\begin{eqnarray} x^2+x-3=0 \end{eqnarray}$ In die pq-Formel: $\begin{eqnarray} x_{2/3}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt[]{( \frac{p}{2} )^2 -q} \end{eqnarray}$ p = 1; q = -3 $\begin{eqnarray} x_{2/3}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt[]{( \frac{1}{2} )^2 +3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2/3}=-0,5 \pm \sqrt[]{3,25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2}=ca. 1,303 ; x_3=ca. -2,303 \end{eqnarray}$ Und jetzt soll ich diese Werte in die ursprüngliche Funtkion eingeben?
22.05.2010, 18:26	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Polynomdivision stimmt! Bei der p/q-Formel vertrau ich dir mal xD Yep, jetzt die drei Werte in die Funktion
22.05.2010, 18:52	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich doch gut an. Bevor meine Glücksfontäne erlischt, rechne ich mal weiter. $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac{2}{3}x^4+\frac{16}{3}x^2 -8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1=1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(1)=-\frac{2}{3}(1)^4+\frac{16}{3}(1)^2 -8 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} f(1)=-\frac{2}{3}+\frac{16}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{10}{3} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} f(1)=3,333.. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-0,5 + \sqrt[]{3,25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-0,5 + \sqrt[]{3,25})=-\frac{2}{3}(-0,5 + \sqrt[]{3,25})^4+\frac{16}{3}(-0,5 + \sqrt[]{3,25})^2 -8 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} f(-0,5 + \sqrt[]{3,25})=-\frac{2}{3}\cdot (10,625)+\frac{16}{3}\cdot (3,5)-8 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} f(-0,5 + \sqrt[]{3,25})=-\frac{21,25}{3}+\frac{56}{3}-8= ca.3,58333 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=-0,5 - \sqrt[]{3,25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-0,5 - \sqrt[]{3,25})=-\frac{2}{3}(-0,5 - \sqrt[]{3,25})^4+\frac{16}{3}(-0,5 - \sqrt[]{3,25})^2 -8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-0,5 - \sqrt[]{3,25})=ca.(-18,746) + (18,666...)=-0,07933... \end{eqnarray}$ Stimmt es? Die Werte sehen nämlich bis auf den ersten fatal aus.
22.05.2010, 19:06	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei f(1) erhalte ich den gleichen Wert. Bei den anderen beiden hast du dich aber verrechnet! Rechne erst die Klammer aus $\begin{eqnarray} (-0,5+\sqrt{3,25}) \end{eqnarray}$ , dann die Potenz. (das musst du in deinen Rechner falsch eingegeben haben?) und zwar bei allen! (allerdings werden die Werte auch nicht besser, habe aber deine p/q-Formel nachgerechnet und das Ergebnis stimmt mit meinem überein, auch der Rechenweg ) (Natürlich kann ich mich auch irren :P) Also, probiers nommal^^ Ich geh solange essen
22.05.2010, 19:39	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep, danke dir. Ich verspreche dir richtige Lösungen nach dem Essen. Ja, stimmt, ich habe zuerst die Potenz ausgerechnet, dann das andere. Hier nochmal das ganze Theater: $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac{2}{3}x^4+\frac{16}{3}x^2-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-0,5+\sqrt[]{3,25} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} f(0,5+\sqrt[]{3,25})=-\frac{2}{3}(0,5+\sqrt[]{3,25})^4+\frac{16}{3}(0,5+\sqrt[]{3,25})^2-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0,5+\sqrt[]{3,25})=(-18,746)+(28,281)-8=1,2296282 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=-0,5-\sqrt[]{3,25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-0,5-\sqrt[]{3,25})=-\frac{2}{3}(-0,5-\sqrt[]{3,25})^4+\frac{16}{3}(-0,5-\sqrt[]{3,25})^2-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-0,5-\sqrt[]{3,25})=(-18,746)+(28,281)-8=1,2296282 \end{eqnarray}$ Also lauten die Punkte: $\begin{eqnarray} P_1(1\|\frac{10}{3}); \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_2(-0,5+\sqrt[]{3,25}\|1,2296282); \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_3(-0,5-\sqrt[]{3,25}\|1,2296282) \end{eqnarray}$ Ist jetzt alles in Butter? Was sagst du dazu Equester?
22.05.2010, 19:57	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ hast du das Minus von 0,5 unterschlagen Beide Werte stimmen aber dennoch nicht?! Rechne erst den Wert der Klammer aus, damit du diesen quadrieren oder gar mit 4 potenzieren kannst (dann ist der Rechenfehler geringer?)
22.05.2010, 20:07	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann Versuch 3: $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac{2}{3}x^4+\frac{16}{3}x^2-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-0,5+\sqrt{3,25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(-0,5+\sqrt{3,25})=-\frac{2}{3}(-0,5+\sqrt{3,25})^4+\frac{16}{3}(-0,5+\sqrt{3,25})^2-8 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} f(-0,5+\sqrt{3,25})=-0,8685 \end{eqnarray}$ Komm schon, komm schon, komm schon, ...
22.05.2010, 20:12	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ stimmen mit meinen Rechnungen überein Hoffen wir nur, dass nicht zwei Dumme den gleichen Gedanken hatten (Nun gut, auch wenn ich dich zu diesen Gedanken verleitet hatte hehe) Nun noch x_{3}...das war auch noch nicht richtig
22.05.2010, 20:15	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Und noch $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x)=-\frac{2}{3}x^4+\frac{16}{3}x^2-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=-0,5-\sqrt[]{3,25} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x_3)=-\frac{2}{3}(-0,5-\sqrt[]{3,25})^4+\frac{16}{3}(-0,5-\sqrt[]{3,25})^2-8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x_3)=1,53518 \end{eqnarray}$ Edit: Richtig, ja oder Nein?
22.05.2010, 20:18	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Top! Hab ich auch
22.05.2010, 20:22	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu. Many thanks to you and I hope, it will be more funny exercises I will confrontate you with. Also Tschüss und bis zum nächsten Mal.
22.05.2010, 20:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, da kann jemand Englisch? xD Hmm, sag mir obs auch ja richtig war^^ Aber ich denk des passt schon! Auf ein weiteres mal!
22.05.2010, 20:31	Hektrio	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann denkst du ja richtig.

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