Polynomdiv., Klammer,Nullstellen herausfinden

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AJM Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdiv., Klammer,Nullstellen herausfinden
f(x)=3*(x+1/2)(x-2)²
Wir sollen die Nullstelle/n für diese Funktion rausbekommen. Wir haben uns in letzter Zeit mit der Polynomdivision beschäftigt. Diese Aufgabe ist ein Problem für mich wegen den mal-Zeichen und den Klammern. Bis jetzt wurde die Nullstelle praktisch vorgegeben (x³-x+120:(x+5)) Da musste man nur noch -5 für x setzen und ausrechnen. Da dachte ich mir setz doch einfach für x so ein dass in der Klammer 0 rauskommt, aber ich gvlaub es geht nicht da man nur einen Wert für x einsetzen kann,also nicht -1/2 und +2 .
Und nach dem Satz ''Die ganzrationale Funktion f habe nur ganzzählige Koeffizienten. Jede ganzzahlige Nullstelle ist dann Teiler des ganzrationalen Gliedes a0.'' kann ich es auch irgendwie nicht lösen. Das würde bedeuten Ich muss Teiler für 3 aussuchen und einsetzen, also 1 und 3.Ich habe also probiert und 1 eingesetzt und es kam 4.5 raus und bei 3 einsetzen 10.5. Müsste aber nicht das Ergebnis 0 sein ?
Hilft mir bitte
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast schon recht!
Bei einem Produkt reicht es wenn auch nur ein Faktor Null ist!
Also musst du die Klammern 0 setzen.
Deine Vermutung mit -0,5 und 2 ist richtig. Dies sind deine Nullstellen, wobei
2 eine zweifache Nullstelle ist Augenzwinkern
DarkD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdiv., Klammer,Nullstellen herausfinden
Überleg dir mal wann



0 wird. (Es sind 3 Faktoren).
Dann hast du deine Nullstellen.

Edit: war klar das ich zu langsam war ...
AJM Auf diesen Beitrag antworten »

achso. Und ich dachte ich müsse die Klammer auflösen
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du..erschwert die Sache Big Laugh Big Laugh
Hektrio Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdiv., Klammer,Nullstellen herausfinden
Jede Funktion hat maximal so viel Nullstellen wie der höchste Grad eines x. In deinem Fall handelt es sich um eine Funktion dritten und nicht ersten Grades und könnte maximal 3 Nullstellen haben.
Aber auch 2, 1 oder gar keine.
Und wie du schon richtig vermutet hast, sind die einzigen Nullstellen:



Edit: Wieso versichert sich nie jemand einfach anhand eines Funktionsgraphen? Das sollte mal wirklich diskutiert werden, ein anderes Mal ...

Edit2: Das hat aber ein bisschen zu lang gedauert. Augenzwinkern
 
 
AJM Auf diesen Beitrag antworten »

@Equester: wie jetzt? Wenn ich das mache dann bleibt noch immer die 3. Und 3² = 6
3*(0)(0)²
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, nein!
Nur ein Faktor muss Null sein Augenzwinkern , damit die ganze Gleichung Null ist.
Und natürlich kann nur das x seinen Wert ändern/annehmen.

Schreibe es doch mal so.
3*(x+0,5)*(x-2)*(x-2)

Dann hast du drei Nullstellen...und wie Hektrio schon erwähnte hatte, kann es
maximal drei Nullstellen geben, auch wenn da stehen würde
3*(x+0,5)*(x-2)*(x-2)*3*5*67*899*54*... Augenzwinkern
AJM Auf diesen Beitrag antworten »

Ja in der Klausur müssen wir auch Graphen zeichnen. Das hab ich noch nicht so gut drauf und muss noch üben.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir doch einfach eine Wertetabelle Augenzwinkern

Du nimmst dir die Punkte

-3 -2 -1 0 1 2 3
(als x-Werte)
und setzt sie in die Gleichung ein!

Mach dir aber nicht zu viel Aufwand...
Du weisst ja, wo deine Nullstellen sind^^

Oder wie weit kennst du dich mit Ableitungen aus? Die
sind auch hilfreich xD
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdiv., Klammer,Nullstellen herausfinden
Zitat:
Original von Hektrio

Edit: Wieso versichert sich nie jemand einfach anhand eines Funktionsgraphen? Das sollte mal wirklich diskutiert werden, ein anderes Mal ...


Das wäre in deinem Fall ein schöner Reinfall, weil du eine falsche Funktion geplottet hast...

Wie die Rechnung zeigt, liegt im Ursprung keine Nullstelle, dein Graph führt aber durch den Ursprung.

Der Graph zur Funktion f(x)=3*(x+1/2)(x-2)² sieht vielmehr so aus:



smile
AJM Auf diesen Beitrag antworten »

ein Produkt ist 0 wenn der Faktor 0 ist...war ja klar Big Laugh
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Produkt ist 0, wenn min ein Faktor 0 ist Augenzwinkern

@ sulo: Danke Augenzwinkern Ist mir auch gerade aufgefallen und wollts anmerken Big Laugh
Hektrio Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau darauf wollte ich auch hinaus, Sulo. Augenzwinkern
AJM Auf diesen Beitrag antworten »

also 3 Nullstellen: -1/2, 2, 2
2 Ist eine doppelte Nullstelle ?
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du meinen ersten Beitrag nicht durchgelesen traurig Big Laugh

Yep, Es ist wie du sagst Augenzwinkern
AJM Auf diesen Beitrag antworten »

doch hab ich,wollte nur bestätigen. Danke für eure Hilfe
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Bis demnächst? Wink
exo^ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Leute,

um nicht einen Haufen neue Themen neuzueröffnen, setze ich mein Anliegen, wenn es hier schon um Polynomdivision geht, hier rein.

Nehmen wir folgende Funktion:



Durch Probieren ergibt sich die erste Nullstelle:



Sodass die Funktion als Ganzes mit (x - 1) dividiert wird:



Das Ergebnis davon kenne ich zwar schon, aber mehr geht es mir um den Part (x - 1), weil (x - 1), da x=1, gleich null ist und im Nenner steht.
Das müsste doch zugleich heißen, dass die Funktion mit null dividiert wird, aber warum ist es dort erlaubt? Denn bekanntlich verstoßt man gegen ein mathematisches Gesetz, teile man durch null.
DarkD Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst jedes (zumindest im komplexen) Polynom wie folgt in Linearfaktoren zerlegen:



Mit bis Nullstellen des Polynoms.

Wenn man eine Nullstelle gefunden hat, dann hat man einen Linearfaktor gefunden und kann diese also "herauskürzen".

Du dividierst also nicht durch Null. Sondern ein Polynom durch ein anderes.

Edit: Damit ist auch klar, warum nach der Polynim Division der Grad des Polynoms um 1 geringer ist. Da ja genau 1 Faktor "gekürzt" wird.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

@ exo: Es ist besser immer einen neuen Thread zu eröffnen!
Mach dir keine Sorgen! Du spammst nicht Augenzwinkern
Aber dann ist es übersichtlicher!


(Dieser post kann nach verschieben gelöscht werden xD, danke!)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zum "durch Null teilen".

Für x = x0 teilt man natürlich durch Null. Der ganze Witz dabei ist, dass man sozusagen sagt: Ich habe die Nullstelle x0 nun gefunden, nehme also an, dass x ungleich x0 ist und kann dann durch (x-x0) teilen.

Oder, wie man so schön sagt: Bei der Polynomdivision teilt man eine Nullstelle einfach "weg".

Etwas exakter beschreibt das natürlich DarkD, ich wollte es nur etwas einfacher ausdrücken. Bei DarkD beachte man, dass es, wie er sagte, nur im Komplexen immer so zerlegbar ist.
Komplexe Zahlen werden in der Schule allerdings nicht immer behandelt (und wenn, dann erst viel später). Für die normalen, reellen Zahlen gilt diese Zerlegung nur dann, wenn das Polynom n-ten Grades auch genau n Nullstellen hat.

Andernfalls, wenn es nur k Nullstellen hat, kann man es in k solcher Linearfaktoren zerlegen, sowie in einen Restfaktor, der ein Polynom vom Grad (n-k) ist.
Aber das führt nun recht weit.

air
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