Zusammenhängende Mengen

22.05.2010, 23:31

DerJFK

Zusammenhängende Mengen

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} $\displaystyle M:=\left\{ x \in \mathbb R^2 \ | \ x_1 \in \mathbb R^2_+ , \ x_2 = \sin \left( \frac 1{x_1} \right) \right\} \cup \{ 0 \}$ \end{eqnarray*}$

Es soll untersucht werden ob die Menge M zusammenhängend ist.

Meine Idee:

Diese Menge kann man sogar durch einen Graphen darstellen, hoffe ich liege richtig?

Nur jetzt ist eben die Sache ob sie zusammenhängend ist oder nicht. Die Definition besagt:

$\begin{eqnarray*} $\text{Eine Menge} \ G \subset \mathbb K^n \ \text{heißt zusammenhängend, wenn es keine relativ-offene Zerlegung} \ G=V \cup U \ \text{gibt, mit} U,V \not= \emptyset \wedge U \cap V = \emptyset$ \end{eqnarray*}$

Ich habe bisher noch keine Zerlegung gefunden, d.h. sie wäre zusammenhängend.

rein intuitiv hatte ich mir das auch überlegt, weil es eine Stetige Funktion ist. Aber sicher bin ich mir gerade nicht?

Würde gerne wissen ob ich evtl. einen Fehler gemacht habe?

danke schonmal.,

Gruß

23.05.2010, 00:10

gonnabphd

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Dein Plot wird der Menge kaum gerecht... Und was genau ist (k)eine stetige Funktion? verwirrt

Überleg dir mal, wo die Menge überhaupt unzusammenhängend sein könnte. Da gibt es nämlich nicht viele Punkte.

Ein weiterer Hinweis dazu: Betrachte

$\begin{eqnarray*} F: (0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2, \quad x \mapsto \left(x, \sin \left( \frac{1}{x} \right) \right) \end{eqnarray*}$

23.05.2010, 00:29

DerJFK

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Du meinst, dass die Menge nur um den Punkt 0 nicht zusammenhängend sein könnte.

Ich hatte mir auch überlegt: z.b.

ich wähle
$\begin{eqnarray*} $G = M$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $U = M \setminus \{ 0 \} $ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $V = \{0\}$ \end{eqnarray*}$

Dann wäre

$\begin{eqnarray*} $G = V \cup U \ \text{und} \ V \cap U = \emptyset $ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $a \in M$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $K_r(a) \cap G \not\subset M$ \end{eqnarray*}$

Weil ja egal wie klein ich mein r wähle, noch Punkte von U dabei wären,.. und somit würde es keine zerlegung geben? oder sehe ich das falsch?

habe mir das eigentlich schon vorher überlegt aber war mir sehr unsicher

23.05.2010, 00:46

DerJFK

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muss noch was verbessern

ich schrieb

$\begin{eqnarray*} $a\in M$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $K_r(a) \cap G \not\subset M$ \end{eqnarray*}$

Aber sollte heißen

$\begin{eqnarray*} $a\in U$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $K_r(a) \cap G \not\subset U$ \end{eqnarray*}$

23.05.2010, 03:04

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} $a\in U$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $K_r(a) \cap G \not\subset U$ \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Für jeden Punkt aus U findet man eine Umgebung, die {0} nicht schneidet.

Das Problem ist eher, dass man keinen Ball um 0 findet, der die Sinuskurve (bei dir: U) nicht schneidet. Das ist aber eigentlich erst der zweite Schritt.

Erstmal solltest du zeigen, dass die Sinuskurve zusammenhängend ist.

Wink

23.05.2010, 11:20

DerJFK

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Ich meinte auch V nicht U habs sogar bei der korrektur verbockt Augenzwinkern

Also V war meine Teilmenge die nur die 0 enthält.

Die sinus funktion ist stetig also zusammenhängend.

Bei sin(1/x) müsste ich eben noch schauen ob es auch bei x = 0 noch stetig ist.

ich wähle zwei Nullfolgen

$\begin{eqnarray*} $x_n = \frac 1{2 \pi n} \ \text{und} \ y_n =\frac 1{ 2 \pi n + \frac {\pi}2 }$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sin \left( \frac 1{x_n} \right) = 0 \not= 1 = \lim_{n \rightarrow \infty} \sin \left( \frac 1{y_n} \right) $ \end{eqnarray*}$

damit hätte ich die unstetigkeit an der stelle x = 0 gezeigt.

Einerseits finde ich keine Zerlegung, was für zusammenhängend spricht, andererseits würde die unstetigkeit zeigen das es nicht zusammen hängt.

das ist meine Frage,...

Danke schonmal, gruß

24.05.2010, 18:46

DerJFK

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Zitat:

Original von DerJFK
Ich meinte auch V nicht U habs sogar bei der korrektur verbockt Augenzwinkern

Da mein Beitrag nun leider in die Ferne gerutscht ist, wollte ich fragen ob mir jemand meine Frage beantworten könnte ob die obengenannte Menge zusammenhängend oder nicht ist.

Bisher bin ich soweit, dass die funktion sin(1/x) unstetig bei der stelle 0 ist aber da die menge mit 0 vereinigt ist, gibt es auch keine zerlegung in relativ offene mengen? Laut diese Definition wäre sie ja nun zusammenhängend, aber was mach ich mit der stelle zwischen 0 und der funktion?

Danke schonmal, gruß

25.05.2010, 07:27

gonnabphd

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Hi

Ja, die Menge ist zusammenhängend. Da die Funktion $\begin{eqnarray*} (0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2: x \mapsto x \times \sin(1/x) \end{eqnarray*}$ stetig ist, muss dieser Teil der Menge in einer Zusammenhangskomponente liegen. Damit müsste es für den Nullpunkt zwangsläufig eine Umgebung besitzen, die das Bild obengenannter Funktion nicht schneidet. Das es so eine Umgebung nicht gibt, kann man leicht zeigen.

Wink

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