vektoren linear unabhängig?

30.10.2006, 16:11

frank86

vektoren linear unabhängig?

Hallo Leute!

Hab hier ein Problem das ich nicht lösen kann:

"Sind folgende Vektoren linear unabhängig?
v1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
v2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
v3= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\- 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ "

mein ansatz ist:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 3=0
2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 3=0
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1+ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 3=0

wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2 und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 3 gleich 0 sind, müssten die vektoren linear unabhängig sein.

Allerdings kann ich die 3 Gleichungen nicht lösen. Was bedeutet dies für die lineare unabhängigkeit? (oder bin ich nur so ein schlechter rechner...)

Danke! Frank

30.10.2006, 16:39

Mazze

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Hui da sieht man überhaupt nicht durch...

ich schreib es erstmal ordentlich hin:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2 und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 3 gleich 0 sind, müssten die vektoren linear unabhängig sein.

Wenn das die einzige mögliche Lösung ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

Führ doch einmal den Gaußalgorithmus aus und schau Dir die Lösungsmenge an.

30.10.2006, 17:07

tigerbine

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Oder berechne

$\begin{eqnarray*} det(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Für det(A) = 0 sind die Vektoren linear abhängig, sonst unabhängig

(Determinante mit Sarrus berechnen)

30.10.2006, 17:13

frank86

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danke für den tipp.

hoffe ich habs richtig gemacht (der gaußalgorithmus war mir neu). Jetzt kommt für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 0 raus, also sind die vektoren linear unabhängig

sorry dass ich den latex text nicht schön geschrieben hab, ist auch neu für mich. bei der 3. gleichung gehört übrigens ein + vor $\begin{eqnarray*} \lambda3 \end{eqnarray*}$ (wie stellt man eine zahl tief?)

frank

edit: danke auch für deinen vorschlag!

30.10.2006, 17:13

tigerbine

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Mit "_"

30.10.2006, 17:15

Mazze

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Hm, ihr habt den Begriff der Determinante vor dem Gaußalgorithmus eingeführt?

Der Gaußalgorithmus ist im wesentlichen nur das Additionsverfahren mit
System.

30.10.2006, 17:16

frank86

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nein hab weder noch gekannt, aber der gaußalgoritmus kommt mir nicht sehr schwierig vor

30.10.2006, 17:18

Mazze

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Auch bekannt unter gaußschem Elemenationsverfahren

31.10.2006, 13:53

--jul--

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Also meiner Meinung nach sind die Vektoren linear abhängig, da man dieses Gleichungsystem nicht eindeutig lösen kann. (nach meinen Berechnungen)

Würd das lieber nochmal checken- nicht dasst dus dann falsch hast.
100% sagen kann ich dir das aber leider auch nicht.

lg jul

EDIT: Habs jetz mal in Derive eingegeben so wies Tigerbiene oben beschrieben hat. Da kommt 0 heraus- dementsprechend müssen sie linear abhängig sein

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