Gradientenfeld

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Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »
Gradientenfeld
Hallo miteinander!

Sei

Meine Frage ist: Ist f ein Gradientenfeld?
Wie kann ich das zeigen? (bzw widerlegen, falls dem nicht so ist?)

Gradientenfelder ist ja ein weitläufiger Begriff..aber die allgemein gültige Definition ist ja, dass ein Vektorfeld F genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es ein Skalarfeld G gibt mit


Herzlichen Dank im Voraus für die Tipps und eine gute Nacht!
giles Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Integrabilit%C3%A4tsbedingung
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort um diese späte Stunde! smile
Das heisst also, f ist ein Gradientenfeld, denn:
Sei Phi: IR^3 --> IR^3.


--> f ist Gradientenfeld, da f(x) = grad phi (x) ist.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Eine einfache Rechnung würde zeigen, dass dem nicht so ist.

Die Integrabilitätsbedingung macht keine Aussage über das Aussehen des Skalarfeldes und das ist auch nicht gefragt. Es ist gefragt ob eines existiert.



Wenn du es jetzt unbedingt ausrechnen willst kannst du das tun, aber es ist nicht besonders leicht.
Sind die Komponentenfunktionen die die Integrabilitätsbedingung erfüllen, dann kann man das gesuchte Skalarfeld explizit angeben mit

Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, habe ich das richtig verstanden, dass f ein Gradientenfeld ist, weil ein Skalarfeld existiert? (welches du sogar explizit angegeben hast)
giles Auf diesen Beitrag antworten »

... Es steht doch bei dem Link, dass die Integrabilitätsbedingung und die Eigenschaft ein Gradientenfeld zu sein für stetig diff.bare f äquivalent sind.
Das Skalarfeld was ich angegeben hab ist nur dann das gesuchte Feld, wenn du jetzt noch zeigst, dass f die Integrabilitätsbedingung erfüllt.


Mach das jetzt endlich mal.
 
 
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit f die Integralitätsbedingung erfüllt, muss ja gelten:

Das ist mir klar.

Was mir aber noch nicht klar ist: Was ist denn zum Beispiel
?

Beziehungsweise - die allgemeinere Frage: Was ist bzw. ?

Sorry, dass ich diese Frage erst jetzt stelle..und vielen Dank für die Geduld!
giles Auf diesen Beitrag antworten »

sind, wie ich geschrieben hab und auch in dem Link steht, die Komponentenfunktionen, d.h. für



was sind hier konkret die Komponentenfunktionen?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige die ungenau formulierte Frage.
Dass es sich hierbei um die Komponentenfunktionen handelt, habe ich natürlich gelesen. Was sie aber konkret sind - das sehe / verstehe ich noch nicht.

Für den Fall hier gilt ja:

..aber was dann die konkreten Komponentenfunktionen sind, das seh' ich noch nicht..
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas passiert halt, wenn sich die Mathematiker zu fein für die Vektorpfeile sind. Augenzwinkern





Deine Abbildung ist

Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso - na, das muss einem doch gesagt sein smile

Also sind für alle i und k: (i, k = 1,2,3)
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Es fehlt noch ein für die Komponentenfunktion charakteristischer Faktor. Welcher?

Berechne danach . Ist f ein Gradientenfeld?


Nebenfrage: Warum schreibst du immer "log(e)"? Das ist doch 1 verwirrt
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, der Faktor fehlt. Also vollständig:


Dann wäre f aber kein Gradientenfeld, da
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mal: Fast.
Ich sagte doch ein *für die Komponentenfunktion* charakteristischer Faktor smile




Ändert das jetzt deine Aussage darüber ob f ein Gradientenfeld ist?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha:


Somit wäre , womit ich auch meine Aussage über f zurücknehme und nun sage, dass f ein Gradientenfeld ist.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie tänzeln wir jetzt um die Lösung herum anstatt darauf zu. Vllt ist es ja zu spät für sowas? smile

also OE kannst du annehmen, dass (wieso?) also ist ein konstanter Faktor bezüglich der Ableitung nach


wobei ich die Ableitung übernommen hab die du oben schon mehrfach richtig verwendet hast.


Wie sieht es aus wenn man die Rollen von k und i vertauscht?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich - es war wohl (oder übel :P) wirklich schon etwas (zu) spät..
Also, falls ich das nun, wo es doch nicht mehr zu spät für sowas sein sollte, richtig gemacht habe, dann würde eine äquivalente Lösung resultieren, falls man i und k vertauscht.


PS: Falls wären, so würde ja sowieso immer gelten:

..man könnte somit also keine "brauchbare" Aussage über ein mögliches Gradientenfeld machen..
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt haben wirs Freude
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Yeah, great! smile

Ich hätte noch eine Frage hierzu:
In einer weiteren Teilaufgabe desselben Problems heisst es:
Seien und die Verbindungsstrecke zwischen 0 und x.
Zu bestimmen ist dann .

"Die Verbindungsstrecke zwischen 0 und x" - was ist denn das konkret? :S
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenfrage: Warum ist es für diese Funktion egal wie diese Strecke konkret aussieht?
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah - f ist ja ein Gradientenfeld, d.h. die Kurvenintegrale sind wegunabhängig. Somit interessieren nur die Anfangs- und Endpunkte - hier im konkreten Fall also 0 und x.
Daraus folgt aber auch, dass alle geschlossenen Kurvenintegrale verschwinden - hier im konkreten Fall ist das Kurvenintegral also = 0.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Ist denn eine geschlossene Kurve (=Anfangs und Endpunkt identisch)?

Das Kurvenintegral kannst du jetzt auf 2 Arten berechnen: Entweder du baust dir einen günstigen Weg, dass das Integral leicht zu lösen ist *oder* du berechnest das zugehörige Skalarfeld und die Lösung ist dann (hattet ihr bestimmt in der Vorlesung) also das Skalarfeld an den Endpunkten.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, zur Berechnung des Skalarfeldes:
Sei






Ist das korrekt so?
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Manuel20




Ist das korrekt so?


So wie ich das sehe hast du jetzt einfach nach integriert, ja? Kann natürlich nicht das richtige bei rauskommen, aber es ist so ähnlich. Leite mal



nach ab. Du siehst dann schon, an welcher Stelle es noch etwas modifiziert werden muss, damit es passt.
Manuel20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das hab ich gemacht..und eigentlich auch gedacht, dass man es wirklich so mache (aber ich kam schon beim Beispiel, das der Prof schnell-schnell "gemacht" hat, nicht auf dasselbe Resultat..)

Wenn ich wüsste, wie es dann am Schluss aussehen sollte, würde ich die zu modifizierende Stelle wahrscheinlich schon finden, aber ohne dieses Wissen würde mir nichts anderes bleiben, als zu "raten" - was ich nicht machen möchte (ist ja auch nicht sehr "mathematisch" :P ), sondern lieber fragen, wie es am Schluss denn aussehen sollte, bzw. was mit der Integration nach x_i nicht stimmt oder noch fehlt..

Besten Dank für deine Hilfe! smile
(und Geduld)
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