Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile

30.10.2006, 16:15

Tigu

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Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile

Hallo!

Ich sitze seit 2Stunden über meinen Matheaufgaben, komme jetzt aber nicht mehr weiter.
geg: Geraden $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u>2 \end{eqnarray*}$
und die x-Achse
Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{3}-8}{4x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich u so bestimmen, dass die Funktion das Trapetz in 2 gleich große Teile teilt.
Ich habe mir natürlich eine Skizze gemacht, sehe auch, wo es ungefähr sein müsste, habe aber keine Idee, wie ich das berechnen kann. Generell die Flächen unter und über der Kurve berechnen hatte ich in der Schule schon, aber wie rechne ich das mit dem u aus? verwirrt

verwirrt

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen Anstoß geben könnte, mir erklärt, womit ich anfangen muss.

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe
Tigu

30.10.2006, 16:36

Geistermeister

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Geistermeister war früher xrt-Physik.
Ich bin für alle geistertechnischen Probleme zuständig! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Mathe-Aufgabe:
Berechne doch zuerst den Flächeninhalt, der zwischen der Gerade
y = 0,25x und der waagerechten Gerade x = 2 und der Funktion
f(x) begrenzt wird.
Dann setzst du ein weiteres Integral an, dass den Flächeninhalt, der
zwischen der Gerade 0,25x und der waagerechten Gerade x = u
und der Funktion f(x) begrenzt wird, begrenzt. Dieses Integral hat dann
den gleichen Flächeninhaltswert wie das andere. Du erhälst am Schluss
eine Gleichung, die du nach u auflösen musst.

30.10.2006, 16:41

Tigu

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Danke für deinen Tipp, aber bei mir schneidet die Funktion die Gerade y=0,25x nicht, womit ich wieder nur eine Begrenzung für die "obere" Flächenberechnung hätte. Habe ich mich nur verrechnet?

30.10.2006, 16:50

Serpen

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RE: Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile

Zitat:

Original von Tigu
Hallo!

Ich sitze seit 2Stunden über meinen Matheaufgaben, komme jetzt aber nicht mehr weiter.
geg: Geraden $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4} x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u>2 \end{eqnarray*}$
und die x-Achse
Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{3}-8}{4x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich u so bestimmen, dass die Funktion das Trapetz in 2 gleich große Teile teilt.
Ich habe mir natürlich eine Skizze gemacht, sehe auch, wo es ungefähr sein müsste, habe aber keine Idee, wie ich das berechnen kann. Generell die Flächen unter und über der Kurve berechnen hatte ich in der Schule schon, aber wie rechne ich das mit dem u aus? verwirrt

verwirrt

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand einen Anstoß geben könnte, mir erklärt, womit ich anfangen muss.

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe
Tigu

Könntest du die vielleicht posten?
Weil mir unklar ist, was du mit "x = u , u>2 und die x-Achse" meinst
Sollen das 2 Geraden sein? Soll u mit der x-Achse eine Gerade bilden?
Vielleicht bin ich bloß zu blöd um die Formulierung zu verstehen, aber eine Erklärung oder Skizze wäre hilfreich Wink

Wink

30.10.2006, 16:54

Tigu

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RE: Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile
Die eine Gerade ist X=u, wobei u>2 ist. Eine weitere Gerade ist die x-Achse.

30.10.2006, 17:03

Serpen

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RE: Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile
achsooo
darauf hätte ich auch kommen können Big Laugh

Big Laugh

Also bei mir schneiden sich die Gerade y = 1/4 x und die f(x), du scheinst einen Rechenfehler gemacht zu haben

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30.10.2006, 17:09

Tigu

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RE: Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile
Hilf mir bitte mal auf die Sprünge. Habe nämlich schon wieder keine Lösung raus. Was hast du denn als Schnittpunkt?

Auch in meiner Skizze schneiden sie sich nicht, istaber ganz knapp.

30.10.2006, 17:14

Serpen

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RE: Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile
Ich habe ihn nicht ausgerechnet, aber wenn du dir die 2 Graphen anschaust, dann sieht man doch einen Schnittpunkt
Ich muss jetzt leider weg, aber es kann dir bestimmt jemand helfen, wenn nicht schaue ich vielleicht abends noch einmal rein

30.10.2006, 17:44

Tigu

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RE: Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile
Also mich macht das jetzt sehr nachdenklich.
Wenn ich die Gerade und die Funktion gleichsetze kommt bei mir keine brauchbare Lösung im betroffenen Abschnitt (u>2) raus. Sollte ich nach einem schulfreien Tag nicht mehr rechnen können?
Hillllllllllllfe traurig

traurig

30.10.2006, 17:56

mYthos

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Die Gerade und die Kurve f(x) schneiden einander NICHT, das ist aber auch nicht das Ziel der Aufgabe. Vielmehr hat die Kurve bei x = 2 eine Nullstelle und verläuft von da an bis zu x = u quer durch das Trapez (übrigens: Hast du schon eine Skizze gemacht??).

Jetzt musst du die Fläche des Trapezes (in u) und die Fläche der Funktion f(x) (im Plot: grüne Kurve) mit der x-Achse zwischen 2 und u (ebenfalls in u) berechnen. Diese muss halb so groß wie die des Trapezes sein, das liefert eine Gleichung in u.

Ist jetzt mehr Licht in der Sache?

mY+

Zur Ergänzung noch die beiden Graphen (Gerade y = x/4 rot, f(x) grün); für die Parallelseiten des Trapezes zeichnest du noch bei x = 2 eine senkrechte Gerade und irgendwo danach (das ist die bei x = u) noch eine zweite ...

30.10.2006, 18:06

Tigu

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Nicht wirklich.
Ja, eine Skizze habe ich.
Habe das mit dem Schittpunkt nur gemacht, weil Geistermeister und Serpen davon sprachen.
Habe verstanden, dass ich einmal die Fläche im Intervall von 2 bis u berechnen muss, also $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{u} \end{eqnarray*}$ Funktion, aber wie geht das mit dem Trapetz? Nach der normalen Flächeninhaltsformel? Ich habe doch aber keine festen Größen. verwirrt

verwirrt

30.10.2006, 18:29

mYthos

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Das Integral der Funktion stimmt schon mal. Die Fläche des Trapezes (bitte ohne "t" beim z) wird nach

$\begin{eqnarray*} A = \frac{(a + c) \cdot h}{2} \end{eqnarray*}$

berechnet! Hier ist h = u - 2, die Parallelseiten (a,c) bekommst du, indem du 2 und u in die Geradengleichung (y = x/4) einsetzt ...

mY+

30.10.2006, 18:30

Bjoern1982

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Zitat:

Nach der normalen Flächeninhaltsformel?

Genau, damit gehts.

Ich würde dir aber empfehlen einfach die Fläche, die der Graph von f mit der x-AChse und die der Graph von f mit der Geraden y=(1/4)u einschliesst, gleichzusetzen.

Denn wenn du erstmal den Flächeninhalt von dem Trapez in Abhängigkeit von u ausrechnest...das is ne ganz schöne Rechnerei.

Aber machs ruhig, wie du es am besten verstehst.
Wollte dir halt nur noch diese Alternative anbieten smile

smile

Gruß Björn

30.10.2006, 18:32

Tigu

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Super. Danke für eure Antworten. Werde mich gleich damit versuchen. Freude

Freude

30.10.2006, 18:38

mYthos

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@Björn

Es kommt auf das Gleiche raus, und eine Rechnerei ist's eigentlich nicht. In beiden Fällen (Flächenformel des Trapezes bzw. Integral von x/4 von 2 bis u) ergibt sich die Fläche leicht als

$\begin{eqnarray*} \ .. \ = \ \frac{u^2 - 4}{8} \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 18:54

Bjoern1982

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Klar...kommt auf dasselbe hinaus.

Nur steckt beim Weg über die Trapezflächeninhaltsformel schon deutlich mehr Arbeit um sich a,c und h zu konstruieren....is nicht schwer, aber beim Flächeninhalt zwischen der Geraden und dem Graphen von f ist es eben sehr einfach, da die Gerade schon als schiefe Asymptote in f drinsteckt...

Wollte dir jetzt auch nicht unnötig in den Thread dazwischenfunken...entschuldige smile

smile

Gruß Björn

30.10.2006, 19:10

mYthos

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@Björn

Keine Ursache! Ich weiss schon, worauf du hinaus willst, und dies ist auch sehr schön, denn beim Subtrahieren der beiden Funktionen fällt x/4 weg und das verbleibende Integral $\begin{eqnarray*} \int~-\frac{2}{x^2}~dx \end{eqnarray*}$ wird einfach.

Man erspart sich so, die Fläche des Trapezes extra zu berechnen, und das ist schon gut!

Die Fläche von f(x) zwischen 2 und u mit der x-Achse muss in jedem Fall berechnet werden, und das Gleichsetzen führt dann auf eine Gleichung 3. Grades ...

@Tigu

Wenn du alles richtig gerechnet hast, bekommst du eine Gleichung 3. Grades in u, von deren drei reellen Lösungen nur eine in Frage kommt (eine Lösung, die nicht in Frage kommt, ist 2)

30.10.2006, 19:16

Tigu

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RE: Funktion teilt Trapez in 2 gleich große Teile
@mYthos:

traurig

traurig

Jetzt bekomme ich graue Haare!
Wie kommst du bei $\begin{eqnarray*} A=\frac{(0,5+\frac{u}{4})*(u-2) }{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{ u^{2} -4}{8} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Ich glaube, dass ich für heute aufhören sollte, weil meine grauen Zellen nicht mehr wollen.

30.10.2006, 19:31

mYthos

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Stimmt ja! Jetzt in der Klammer oben auf Viertel bringen, diese Viertel gleich nach unten mit der 2 im Nenner multiplizieren, ->

$\begin{eqnarray*} = \frac{(2 + u) \cdot (u - 2)}{8} = \frac{u^2 - 4}{8} \end{eqnarray*}$

OK?

30.10.2006, 20:00

Tigu

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Klar, habe den zweiten Teil auch noch mit multipliziert Hammer

Hammer

Sage doch, meine grauen Zellen wollen heute nicht mehr.
Vielen Dank für die Hilfe Gott

Gott

30.10.2006, 20:05

mYthos

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OK, rechnest du das noch weiter oder ist das für dich schon beendet?
(Ich frage deswegen, ob ich noch auf etwas warten soll ..)

mY+

30.10.2006, 20:12

Tigu

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Ich versuche mich gerade an der Stammfunktion für den zweiten Teil. Muss aber erst mal nachschlagen, wie das ging, habe ich seit einem Jahr nicht mehr gemacht. geschockt

geschockt

30.10.2006, 20:22

mYthos

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Ich möcht dir einen Tipp für das Integral geben:

Trenne den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{x^3 - 8}{4x^2} \end{eqnarray*}$ in die zwei einfacher zu integrierenden Terme $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4} - \frac{2}{x^2} \end{eqnarray*}$ .

mY+

30.10.2006, 20:31

Tigu

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gut, der hintere Teil wäre ja dann $\begin{eqnarray*} +\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ , aber wie bildet man die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{4} \end{eqnarray*}$ ? Etwa so $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8}x^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Dann würde ich am Schluss auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} u^{2} +\frac{2}{u}-1 \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kommen.
Bin ich der Lösung jetzt ein Stückchen näher?

30.10.2006, 20:36

mYthos

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Ja, exakt so!

mY+

30.10.2006, 20:45

Tigu

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Und nun muss $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{8}u^{2}+ \frac{2}{u}-1,5 }{2}= \frac{u^{2}-4 }{8} \end{eqnarray*}$ gelten oder nehme ich den linken Teil als Gleichung und löse sie nach u auf?

30.10.2006, 20:58

mYthos

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Denke daran, dass die Fläche des Trapezes halbiert wird! Du halbierst jedoch die Fläche der Funktion!

Und NICHT nur die linke Seite auflösen, was soll das bringen?

Daher ist

$\begin{eqnarray*} \frac{u^2}{8} + \frac{2}{u} - \frac{3}{2} = \frac{u^2 - 4}{16} \end{eqnarray*}$

Über die Lösungen habe ich dir ja schon einiges verraten (eine davon ist 2)

mY+

30.10.2006, 21:18

Tigu

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Zitat:

Original von mYthos
Wenn du alles richtig gerechnet hast, bekommst du eine Gleichung 3. Grades in u, von deren drei reellen Lösungen nur eine in Frage kommt (eine Lösung, die nicht in Frage kommt, ist 2)

Darum dachte ich, dass ich die linke Seite nach u umformen muss, weil ich nach der Polynomdivision ja auf 2;2;-4 komme, habe aber daran selber gesehen, dass es das nicht sein kann.

30.10.2006, 21:29

Tigu

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Gleichung 3.Grades?

Komme ich nach Umformung nicht auf: $\begin{eqnarray*} \frac{u^{2}}{16}+ \frac{2}{u}-1 \frac{1}{4}=0 \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 21:35

mYthos

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Ja!

Aber du hast ja noch ein u im Nenner! Also los, das Ganze mit 16u multiplizieren!

30.10.2006, 21:45

Tigu

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Stimmt 3,123 als ergebniss?

30.10.2006, 21:52

mYthos

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Ja, genau ist es

$\begin{eqnarray*} \sqrt{17} - 1 \end{eqnarray*}$

Geschafft!

mY+

30.10.2006, 21:56

Tigu

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Mit Zunge

Vielen Dank für deine Gedult Freude

Freude

Wink

30.10.2006, 22:09

mYthos

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Kein Problem! Bis zum nächsten Mal,
gn8!

mY+

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