schon ein paar mal integriert und immer noch falsch ....

14.06.2004, 13:37	carstenroll	Auf diesen Beitrag antworten »
schon ein paar mal integriert und immer noch falsch .... Hy, unser Prof hat in der Vorlesung ein Beispiel vorgerechnet $\begin{align} \Bigint 1/(x+\sqrt{x-1})~dx \end{align}$ Rauskommen soll 1/(1+x^2) also quasi die Ableitung vom arctan(x) Die Aufgabe ist mit einem Standardsubstituionsverfahren zu lösen, dann noch ne normal Substituion und schon sieht es machbar aus. Ich hab die Aufgabe nu schon 4 mal gerechnet, komme aber immer auf einen term aus ln() und was mit arctan() ...... Das Ergebnis meines Matheprogs am Pc ist total abgedreht und enthält undgefähr 25 Terme .... Kennt einer nen Trick, den ich nicht kenne ? Vielen Dank Carsten
14.06.2004, 13:41	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schon ein paar mal integriert und immer noch falsch .... Differenziere einmal das angebliche Ergebnis?
14.06.2004, 13:48	carstenroll	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh, also 1/(1+x^2) differenziert ergibt doch -2x/(1+x^2)^2 Was bringt mir das ? gruß carsten
14.06.2004, 13:55	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
es zeigt, dass das Ergebnis der Integration nicht 1/(1+x²) sein kann, denn es kommt ja nicht $\begin{align} \frac{1}{x+\sqrt{x-1}} \end{align}$ heraus, wenn ich das Ergebnis differnziere oder liege ich falsch?
14.06.2004, 13:59	carstenroll	Auf diesen Beitrag antworten »
achso meinste das, stimmt, müsste ja eingedlich, wenn auch evtl nach einigen Rechenschritten, das selbe herauskommen ..... Also bastel ich mal mit dem Ergebnis was ich raushab :-)
14.06.2004, 14:01	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir vielleicht sagen, wie du substituiert hast?
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14.06.2004, 14:05	carstenroll	Auf diesen Beitrag antworten »
klar, machs aber ohne editor, nicht böse sein ;-) Methode Int(R(x,n-Wurzel(ax+b)))dx = Int(R(1/a *t^n -b),t)n/a t^n-1 dt also quasi t =sqrt(x-1) als erstes, und dann u = t + 1/2 im Nenner, nachdem man da was zu einem Binom zusammen fassen konnte . Gruß Carsten
14.06.2004, 14:11	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
da kenne ich mich jetzt leider nicht aus.
14.06.2004, 14:14	carstenroll	Auf diesen Beitrag antworten »
soll ich den zettel mal eben auf meinen server legen ? http://www.carstenroll.de/Mail0011.JPG
14.06.2004, 14:22	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis sieht auch bei meinem Programm nicht wirklich schön aus, auch wenn es nur aus 6 Summanden besteht... Die erste Substitution t = sqrt(x-1) liefert $\begin{align} \int {\frac {2t}{t^2+t+1}}\,{dt} \end{align}$ . Da der Nenner keine reellen Nullstellen hat, funktioniert keine Partialbruchzerlegung, es wird also ein ln- oder arctan-Integral werden. Da die Ableitung von t^2+t+1 gleich 2t+1 ist, spaltest du das Integral in zwei Summanden: $\begin{align} \int {\frac {2t+1}{t^2+t+1}}\,{dt} + \int {\frac {-1}{t^2+t+1}}\,{dt} \end{align}$ . Das erste Integral ist logarithmisch: ln\|t^2+t+1\| In zweiten Integral substituierst du, um einen Term u^2+1 im Nenner zu bekommen: u = (t + 1/2)sqrt(4/3) ergibt $\begin{align} -\sqrt {4/3}\int\frac{1}{1+{u}^{2}}{du} \end{align*}$
14.06.2004, 14:31	grybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt blick ich durch, wie substituiert wird.

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