Matrix, Eigenwert, Identität

23.05.2010, 09:48

tempo123

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Matrix, Eigenwert, Identität

Hallo alle zusammen, ich habe 2 kleinere Fragen bezgl. eines Beweises:

1) Sei A eine symmetrische Matrix aus M(n,n) mit den Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = \lambda_{2} = ... = \lambda_{n} = 1 \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass dann A = I gilt.

2) Man suche ein Beispiel einer (2x2)-Matrix B, welche die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = \lambda_{2} = 1 \end{eqnarray*}$ hat und für die $\begin{eqnarray*} B \neq I \end{eqnarray*}$ gilt.

Vielen Dank bereits im Vorfeld für eure Tipps.

23.05.2010, 09:58

kiste

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1.) Benutze diagonalisierbar
2.) Benutze nicht diagonalisierbar Big Laugh

Big Laugh

23.05.2010, 10:02

DGU

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1. Verwende, dass symmetrische Matrizen immer diagonalisierbar sind.
2. Ein einfaches Beispiel ergibt sich, wenn du die JNF verwendest (natürlich darf die Matrix dann nicht diagonalisierbar sein).

sry, zu langsam (kommt davon, wenn man immer mehrere Tabs auf hat...)

23.05.2010, 10:14

tempo123

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1) Also Ich starte so:
Sei $\begin{eqnarray*} B=T^{-1}AT: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |B-\lambda I| = |T^{-1}(A-\lambda I)T| = |T^{-1}||A-\lambda I||T| = |T^{-1}||T||A-\lambda I|=1|A-\lambda I|=|A-\lambda I| \end{eqnarray*}$ .

2) JNF haben wir nicht behandelt^^

23.05.2010, 10:29

kiste

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1) Und was soll das bringen?
Benutze lieber was es bedeutet das A ähnlich zur Einheitsmatrix ist

2) Du musst die JNF doch nicht behandelt haben um daraus ein Beispiel abzuleiten

23.05.2010, 11:09

tempo123

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Zitat:

Original von kiste
1) Und was soll das bringen?
Benutze lieber was es bedeutet das A ähnlich zur Einheitsmatrix ist

2) Du musst die JNF doch nicht behandelt haben um daraus ein Beispiel abzuleiten

Wie genau meinst du das? du Meinst I = T^-1AT ?
Ich verstehe nicht ganz, worauf du hinauswillst.
geschockt

geschockt

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23.05.2010, 11:11

kiste

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Ja das ist doch schon fast die Lösung. Jetzt kannst du so umformen dass A = ... da steht

23.05.2010, 11:45

tempo123

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Jetzt nimmt wich doch Wunder ob ich nicht wie folgt argumentieren kann:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} A\vec{v} = \lambda \vec{v} \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} A\vec{v}-\lambda \vec{v}=0 \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} (A-\lambda)\vec{v}=0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung, muss A=I sein, damit Identität gewahrt ist.

Alternativ: Sei $\begin{eqnarray*} A\vec{v} = \lambda \vec{v} \end{eqnarray*}$
Nun sei $\begin{eqnarray*} Q^{-1}AQ=I \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} QQ^{-1}AQ=QI \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} AQ=Q \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda Q=Q \end{eqnarray*}$

23.05.2010, 11:49

kiste

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Ja eine Argumentation die so ähnlich aussieht geht auch, deines reicht allerdings nicht aus. Warum du jetzt nicht die Richtung fertig rechnest die ich vorgeschlagen habe verstehe ich nicht(da ist man noch 20sec vom Beweis entfernt)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} AQ=Q \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda Q=Q \end{eqnarray*}$

Den letzten Schritt verstehe ich nicht, und warum du nicht mit Q^-1 von rechts multiplizierst, und damit fertig bist, verstehe ich auch nicht.

23.05.2010, 12:00

tempo123

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Also du meinst: $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT=I \Leftarrow \Rightarrow TT^{-1}AT=TI \Leftarrow \Rightarrow IAT=TI \Leftarrow \Rightarrow AT=T \Leftarrow \Rightarrow ATT^{-1}=TT^{-1} \Leftarrow \Rightarrow A=I \end{eqnarray*}$

23.05.2010, 12:03

kiste

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Ja genau.

Um mit Eigenvektoren zu argumentieren:
Da der einzige Eigenwert 1 ist, und die Matrix diagonalisierbar gilt für alle Vektoren v dass Av=v. Damit ist A=I.

PS: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ macht man mit \Leftrightarrow

23.05.2010, 12:09

tempo123

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thx für die Tipps, dann überlege ich mir mal (b)

23.05.2010, 12:32

tempo123

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Muss ich bei 2) einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} D \neq Q^{-1}AQ \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} D= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Oder wie genau soll man hier argumentieren?

23.05.2010, 12:34

kiste

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Bei 2) musst du eine Matrix B finden mit dem doppelten Eigenwert 1 die aber nicht diagonalisierbar ist. Ich würde mir den Tipp mit der Jordannormalform nochmal anschauen(falls du das nicht kennst, es kann von dir erwartet werden dass du es nachschlägst)

23.05.2010, 15:16

tempo123

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Also ich bin jetzt durch Pröbeln auf folgende Matrix gestossen, die obig genannte Eigenschaften erfüllt.

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Leider weiss ich nicht, wie ich das mit der JNF hätte machen sollen. Gemäss dieser ist meine Jordanmatrix ja

$\begin{eqnarray*} J_{B}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das Problem ist, dass ich ja nur einen Eigenvektor erhalte, wenn ich mit meiner gewählten Matrix B den Eigenraum Eig(B;1) berechnen will.

24.05.2010, 19:10

kiste

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Stimmen beide.

Natürlich darfst du nur auf einen linear unabhängigen Eigenvektor kommen. Sonst wäre die Matrix ja diagonalisierbar und nach obigen bereits die Einheitsmatrix

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