Integral einer Differentialform

23.05.2010, 11:52	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral einer Differentialform Hallo, ich müsste ein Integral berechnen, wo der Integrand eine Differentialform ist. Ich hab sowas noch nie ausgerechnet und deswegen tauchen da ein paar Fragen auf. Es ist die Menge $\begin{eqnarray} M=\{(t,t^2+1)\ \|\ t \in (0,1)\} \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gegeben und die einmal stetig differenzierbare 1-Form $\begin{eqnarray} \omega \in \Omega^1(M) \end{eqnarray}$ , die wie folgt definiert ist: $\begin{eqnarray} \omega=(x^2-y)dx+(y^2+x)dy \end{eqnarray}$ Nun soll ich eine Orientierung auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ wählen und dann das Integral $\begin{eqnarray} \int_M \omega \end{eqnarray}$ berechnen. Muss ich zunächst das $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t^2+1 \end{eqnarray}$ und die partiellen Ableitungen in die Differentialform einsetzen? Das wäre also: $\begin{eqnarray} \omega_t=(t^2-(t^2+1))\cdot t + ((t^2+1)^2 +t)\cdot (2t) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \int_0^1 \omega_t \end{eqnarray}$ berechnen? Danke für eure Hilfe im Voraus! Ciao, Thorsten
23.05.2010, 12:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig! Außer einem kleinen Rechenfehler hast du nur vergessen, daß $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ eine Differentialform ist. Und wo ist das Differential? Man kann hier ganz formal vorgehen: Für $\begin{eqnarray} x=t \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} y=t^2 + 1 \end{eqnarray}$ substituieren: $\begin{eqnarray} \left( t^2 - \left( t^2 + 1 \right) \right)~\dd t + \left( \left( t^2 + 1 \right)^2 + t \right)~\dd \left( t^2 + 1 \right) \end{eqnarray}$ Und allgemein gilt: $\begin{eqnarray} \dd \varphi(t) = \varphi'(t)~\dd t \end{eqnarray}$ . Damit kannst du dann auch noch $\begin{eqnarray} \dd \left( t^2 + 1 \right) \end{eqnarray}$ auflösen. Dann kommst du fast auf deinen Ausdruck. Siehst du jetzt deine Fehler? Das $\begin{eqnarray} \dd t \end{eqnarray}$ kannst du dann nach hinten ziehen: $\begin{eqnarray} \left( \ldots \right)~\dd t \end{eqnarray}$ . Und über diesen Ausdruck mußt du nun in den Grenzen von 0 bis 1 integrieren.
23.05.2010, 17:11	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zuerst mal Danke für deine Antwort. Ich hab das Integral das nun wie folgt berechnet: $\begin{eqnarray} \left( t^2 - \left( t^2 + 1 \right) \right)\mathrm dt + \left( \left( t^2 + 1 \right)^2 + t \right)\mathrm d\left( t^2 + 1 \right) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left( t^2 - \left( t^2 + 1 \right) \right)\mathrm dt + \left( \left( t^2 + 1 \right)^2 + t \right) 2t\ \mathrm dt = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2t^5+4 t^3+ 2 t^2 + 2 t-1) \mathrm dt \end{eqnarray}$ Und damit ist $\begin{eqnarray} \int_M \omega= \int_0^1 (2t^5+4 t^3+ 2 t^2 + 2 t-1) \mathrm dt = \left [-t+\frac{1}{3} t^6+t^4+t^2+ \frac{2}{3} t^3 \right ]_0^1= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1+\frac{1}{3}+1+1+\frac{2}{3}=2 \end{eqnarray}$ Ist das alles richtig? Gruß, Thorsten
24.05.2010, 00:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt alles. Und wenn du einmal etwas über exakte Differentialformen weißt, geht es noch schneller. Leider ist $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ nicht exakt. Aber fast. Mit $\begin{eqnarray} F = F(x,y) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{3} y^3 - xy \end{eqnarray}$ gilt nämlich: $\begin{eqnarray} \omega = \dd F + 2x~\dd y \end{eqnarray}$ , womit folgt: $\begin{eqnarray} \int_M \omega = \int_M \dd F + \int_M 2x~\dd y = F(1,2) - F(0,1) + 4 \int_0^1 t^2~\dd t = 1 - \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = 2 \end{eqnarray}$
26.05.2010, 13:45	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Was mir noch nicht 100%ig klar ist, ist die Sache mit der Orientierung. In der Aufgabenstellung steht "Wähle Orientierung auf M und berechne das Integral. Was ist, wenn man die Orientierung ändert?". Also wenn man das Parabelstück in der anderen Richtung durchläuft dann kommt statt 2 eben -2 heraus, aber woher weiss ich eigentlich, welche Richtung ich durchlaufen muss, damit 2 herauskommt? Ich würde mal sagen, dass ich die Richtung durchlaufe, wo t bei 0 startet und dann bei 1 aufhört. Wenn ich es so mache, kommt +2 heraus, richtig? und Wenn ich bei 1 starte und bei 0 aufhöre, kommt -2 heraus?! Aber wie begründet man dieses Vorzeichen eigentlich mathematisch korrekt? Gruß, Thorsten

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