Ableitung mit Kettenregel?

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23.05.2010, 12:22	Daniel45b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung mit Kettenregel? Gegeben ist eine Funktion $\begin{eqnarray} f: U \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . f ist diffbar. man soll nun die partiellen ableitungen $\begin{eqnarray} h(x,y,z) = f(x, xy, xyz) \end{eqnarray}$ berechnen. ich hab irgendwie probleme diese schreibweise zu verstehen, soll es bedeuten, dass x nun einmal von y abhängt und dann von y und z ? Also dass ich die partielle ableitung bilde mit der Kettenregel? ich hab sowas probiert: $\begin{eqnarray} f'(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\operatorname{d}z}{\operatorname{d}y} \frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x} \end{eqnarray}$ ? Was mich daran stört ist dass hier Funktion = Funktion steht...
23.05.2010, 15:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} xyz \end{eqnarray}$ sind Produkte. Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = \frac{xy}{z^2} \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} h(x,y,z) = \frac{1}{yz^2} \end{eqnarray}$ Und was du über die Ableitung sagst, stimmt dann auch nicht. Im übrigen sollst du ja auch $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ableiten. Und das geht nach der Kettenregel: $\begin{eqnarray} h(x,y,z) = f \left( \varphi(x,y,z) \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h'(x,y,z) = f' \left( \varphi(x,y,z) \right) \cdot \varphi'(x,y,z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h' \end{eqnarray}$ sind hier die Jacobi-Matrizen, $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ ist vom Typ 1×3 (also eine Zeile) und $\begin{eqnarray} \varphi' \end{eqnarray}$ vom Typ 3×3. Was ist denn hier konkret die innere Funktion $\begin{eqnarray} \varphi(x,y,z) \end{eqnarray}$ ?
23.05.2010, 15:51	Daniel45b	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du mit hier konkret auf dein Beispiel bezogen? Dann wäre $\begin{eqnarray} \varphi(x,y,z) = \frac{1}{yz^2} \end{eqnarray}$ oder nicht?
23.05.2010, 15:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist durch die Aufgabe eindeutig festgelegt. Nämlich?
23.05.2010, 16:04	Daniel45b	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varphi(x,y,z)= (x,xy,xyz) \end{eqnarray}$ Also muss ich dann $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ableiten und die Jacobimatrix sieht dann so aus, dass in der 1. Zeile die partiellen ableitungen nach x stehen, in der 2. zeile die part. abl. nach y und in der 3. die p. ab. nach z ? $\begin{eqnarray} \varphi ' (x,y,z) = \begin{pmatrix} <br /> 1 & y & yz \\ <br /> 0 & x & xz \\<br /> 0 & 0 & xy \\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ??
23.05.2010, 16:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei diesem Kalkül sind die Komponenten von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ in einer Spalte hinzuschreiben (auch wenn man sie im Argument von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ der Bequemlichkeit halber zeilenförmig notiert): $\begin{eqnarray} \varphi(x,y,z) = \begin{pmatrix} x \\ xy \\ xyz \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du mußt deine Matrix also noch transponieren. Ansonsten stimmt es.
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23.05.2010, 16:41	Daniel45b	Auf diesen Beitrag antworten »
danke. wobei so ganz klar was das f jetzt genau ist, ist mir das immernoch nicht. sind bei h die x y und z Vektoren und bei f nur variablen? wie erkennt man das denn, was vektorielle größe ist und was nur variable?
24.05.2010, 00:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht näher bekannt. Man weiß nur, daß es auf einer offenen (?) Teilmenge $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und reelle Werte besitzt. Ob man nun $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ als eine Funktion dreier reeller Variablen $\begin{eqnarray} u,v,w \end{eqnarray}$ oder als Funktion eines Vektors $\begin{eqnarray} (u,v,w) \end{eqnarray}$ mit drei reellen Koordinaten auffaßt, ist Ansichtssache.
25.05.2010, 23:57	Daniel45b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab als Ergebnis übrigens heraus: $\begin{eqnarray} h'(x,y,z) = f'(x,xy,xyz) \cdot \begin{pmatrix} <br /> 1 & 0 & 0 \\ <br /> y & x & 0\\<br /> yz & xz & xy<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich nur nicht was f' sein soll. Wenn es nicht weiter bekannt ist, kann ich es dann so stehen lassen? Und ist hier eigentlich der Spezialfall anwendbar? Also dass ich statt f' $\begin{eqnarray} \operatorname{grad}(f) \end{eqnarray}$ schrieben kann? Weil die Fkt geht ja in den R eins
26.05.2010, 00:22	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in den $\begin{eqnarray} \mathbb R^1 \end{eqnarray}$ abbildet, hast du hier wirklich einen Spezialfall. Wenn du hier nämlich die Ableitung bildest und die Jacobi-Matrix aufschreibst, hast du eine $\begin{eqnarray} 1\times 3 \end{eqnarray}$ -Matrix, nämlich den transponierten Gradienten von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Also gilt $\begin{eqnarray} f'=grad(f)^T \end{eqnarray}$ . Wäre der Gradient nicht transponiert, könntest du auch das Matrizenprodukt, welches du nach der Ableitung von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ erhälts, nicht ausrechnen. LG Max

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