Volumen eines Rotationskörpers

23.05.2010, 14:13

FrankyHill

Volumen eines Rotationskörpers

Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben. Allerdings komm ich nicht auf das Ergebnis der Musterlösung.

1) Berechnen sie die das Volumen des Körpers der entsteht wenn der Funktionsgraph um die x Achse rotiert.

$\begin{eqnarray*} f_{x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (0;1) \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_a^b \! f(x)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}^2=\frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_0^1 \! \frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{4} \int_0^1 \! (e^{2x}+e^{-2x}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{4}\left[(\frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{2} e^{-2x}) \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8} \left[(e^{2x}- e^{-2x}) \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8}(e^{2*1}-e^{-2*1})-\frac{\pi }{8}(e^{2*0}-e^{-2*0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8}(e^{2}-e^{-2})-\frac{\pi }{8}( 1+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8}(e^{2}-e^{-2})-\frac{2\pi }{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8}(e^{2}-e^{-2})-\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

In der Musterlösung steht allerdings das:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8}(e^{2}-e^{-2})-\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Wo ist den hier mein Fehler???

Danke

23.05.2010, 16:04

Huggy

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RE: Volumen eines Rotationskörpers

Zitat:

Original von FrankyHill
$\begin{eqnarray*} f_{x}^2=\frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8}(e^{2}-e^{-2})-\frac{\pi }{8}( 1+1) \end{eqnarray*}$

Ein weiterer Fehler (Vorzeichen).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi }{8}(e^{2}-e^{-2})-\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

In der Musterlösung ist auch noch ein Vorzeichenfehler.

23.05.2010, 16:08

FrankyHill

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Was hab ich den beim quadrieren falsch gemacht???

23.05.2010, 16:10

Huggy

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$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 \neq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

23.05.2010, 17:40

FrankyHill

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Mmmh, irgendwie klappt es nicht.

$\begin{eqnarray*} f_{x}=\frac{1}{2} (e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}^2=\frac{1}{4} (e^{2x}+e^{x-x}+e^{-x+x}+e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}^2=\frac{1}{4} (e^{2x}+e^0+e^0+e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}^2=\frac{1}{4} (e^{2x}+2e^0+e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}^2=\frac{1}{4} (e^{2x}+2+e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

Das kann doch auch nicht richtig sein, oder?

23.05.2010, 18:02

Huggy

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Das ist vollkommen richtig!
Was stört dich dabei?

23.05.2010, 19:01

FrankyHill

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Wenn ich das jetzt einsetze komme ich aber nicht auf die Lösung.

$\begin{eqnarray*} f_{x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x}^2=\frac{1}{4} (e^{2x}+2+e^{-2x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\pi \int_0^1 \! f(x)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi}{4} \int_0^1 \!(e^{2x}+2+e^{-2x}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi}{4} \left[\frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2x} \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi}{4} \left[\frac{1}{2}e^{2*1}+2*1-\frac{1}{2}e^{-2*1} \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{\pi}{4} \left[\frac{1}{2}e^{2}+2-\frac{1}{2}e^{-2} \right]_{0}^{1} \end{eqnarray*}$

Was mach ich den mit der 2???

23.05.2010, 19:05

FrankyHill

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Ok, jetzt hab ich es. Vielen Dank für die Hilfe.

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