konvergenz einer reihe

23.05.2010, 15:49

susa90

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konvergenz einer reihe

Meine Frage:
hallo!

ich sitze hier an einer aufgabe und weiß einfach nicht weiter.
die aufgabe lautet:

Für welche x in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$
ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (x^n/(n+x^2)) \end{eqnarray*}$

konvergent bzw absolut konvergent?

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht,ich könnte mit dem Quotientenkriterium an die Aufgabe rangehen.
Ich müsste also zeigen,dass $\begin{eqnarray*} (x^n+1/(n+1+x^2))/(x^n/n+x^2)) \end{eqnarray*}$
zwischen 0 und 1 liegt.
dabei kam raus,dass das ganze >0 ist,wenn x>0 ist.

und es ist <1,wenn [latex] x^3-x^2+n*x-1<0 ist. da is das aber nicht faktorisieren kann,weiß ich leider nicht weiter.
könnte mir vll jemand einen tipp geben,wie ich da weiterkomme bzw wie ich anders an die sache herangehen könnte?
danke im voraus!

23.05.2010, 18:36

Felix

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Zitat:

Ich müsste also zeigen,dass $\begin{eqnarray*} (x^n+1/(n+1+x^2))/(x^n/n+x^2)) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch du müsstest nach den x suchen, für die $\begin{eqnarray*} |\frac{x \cdot (n + x^2)}{n+1 + x^2}| <1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist (für alle natürlichen n ab einem gewissen Index).

24.05.2010, 17:59

susa90

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ja,klar,tschuldigung,hab die betragsstriche vergessen...klar,dann fällt der teil mit >0 natürlich auch weg..aber es ändert ja dann eigentlich nichts an meinem problem...

24.05.2010, 18:31

Felix

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Du musst den GW dieses Ausdrucks berechnen oder zumindest abschätzen. Dann siehst ud für welche x konvergenz vorliegt.

26.05.2010, 11:21

Andi24

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Hallo, ich sitze an der selben Aufgabe:

Also mit dem Quotientenkriterium kommt ja raus das |x|<1 sein muss, dass die Reihe konvergiert. Für den Fall, dass |x|=1 ist kann ja keine Aussage getroffen werden, also müssen diese Fälle doch seperat untersucht werden genauso wie der Fall x=0, oder?!

Mein Ergebnis ist jetzt das die Reihe konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$

Aber was mir nicht ganz einleuchtet, ist die Anwendung des Limes. Vielleicht kann jemand kurz was dazu sagen.

Gruß und Danke

26.05.2010, 11:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Andi24
genauso wie der Fall x=0, oder?!

x=0 erfüllt auch die Bedingung |x| < 1. Eine separate Untersuchung ist also nicht nötig.

Zitat:

Original von Andi24
Mein Ergebnis ist jetzt das die Reihe konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$

Warum ist keine Konvergenz bei den Randwerten?

Zitat:

Original von Andi24
Aber was mir nicht ganz einleuchtet, ist die Anwendung des Limes. Vielleicht kann jemand kurz was dazu sagen.

Was genau verstehst du daran nicht?

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26.05.2010, 12:02

Kühlkiste

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RE: konvergenz einer reihe
Du kannst den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{x^n}{n+x^2}\right|=\frac{|x|^n}{n+x^2} \end{eqnarray*}$

abschätzen und für |x|<1 eine konv. Majorante, so wie für |x|>1 eine div. Minorante finden.
Für die Majorante lässt Du einfach das n im Nenner weg und für die Minorante kannst Du das x^2 im Nenner durch n ersetzen (Warum?).

Bleibt noch $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ zu betrachten, was aber kein Problem darstellen sollte.

26.05.2010, 12:16

Andi24

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Der Fall x=0 muss doch ausgeschlossen werden bei der Untersuchung mit dem Quotientenkriterium, der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n+x^2} \end{eqnarray*}$ wird dann ja 0 , und das QK wäre nicht anwendbar, deswegen hab ich das gesondert betrachtet.

Wenn ich die Randstellen 1 und -1 einsetze erhalte ich zum einen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ für x=1 und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1} \end{eqnarray*}$ für x=-1, neide Reihen sind divergent.

Zum Limes:
Mir ist klar, dass ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ der Betrag des Terms kleiner 1 sein muss, nur wieso man zum grenzwert übergeht versteh ich nich so ganz.

26.05.2010, 13:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Andi24
Der Fall x=0 muss doch ausgeschlossen werden bei der Untersuchung mit dem Quotientenkriterium, der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{x^n}{n+x^2} \end{eqnarray*}$ wird dann ja 0 , und das QK wäre nicht anwendbar, deswegen hab ich das gesondert betrachtet.

Nun ja, ok. Da sind die Summanden eh Null, so der Fall relativ uninteressant ist.

Zitat:

Original von Andi24
Wenn ich die Randstellen 1 und -1 einsetze erhalte ich zum einen $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ für x=1 und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1} \end{eqnarray*}$ für x=-1, neide Reihen sind divergent.

Nein, es ist nur eine divergent.

Zitat:

Original von Andi24
Mir ist klar, dass ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ der Betrag des Terms kleiner 1 sein muss, nur wieso man zum grenzwert übergeht versteh ich nich so ganz.

Wenn der Grenzwert g $\begin{eqnarray*} g := \lim_{n \to \infty}~|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq q \end{eqnarray*}$ ist mit q < 1, dann wählt man ein epsilon > 0, so daß $\begin{eqnarray*} q + \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ ist. Zu diesem epsilon gibt es ein n_0 mit $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq q + \epsilon < 1 \end{eqnarray*}$ für alle n > n_0. Damit hat man also das erreicht, was man beim Quotientenkriterium zeigen muß. In der Regel ist die Bildung des Grenzwerts einfacher als der direkte Nachweis der Ungleichung.

27.05.2010, 13:20

susa90

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ich hab jetzt auch nochmal ueber die aufgabe nachgedacht:

also,wenn ich die faelle |x|=1,|x|>1 und |x|<1.

fuer |x|=1 gilt:
x=1: reihe ist (als geometrische reihe???)konvergent

und fuer x=-1: reihe ist divergent(nur warum??)

fuer |x|<1 gilt:

[latex] \sum\limits_{k=1}^\infty (x^n/(n+x^2) \leq \sum\limits_{k=1}^\infty x^(n-1) [\latex] (n-1 steht is der exponent) und das konvergiert absolut gegen 0.

und fuer |x|>1 gilt:

[latex] \sum\limits_{k=1}^\infty (x^n/(n+x^2) \geq \sum\limits_{k=1}^\infty 1/2n [\latex]

und und divergiert somit.

kann das irgendwie so stimmen??

27.05.2010, 13:21

susa90

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sorry,da ist wohl was schief gelaufen>hoffentlich klappt es jetzt>

also,wenn ich die faelle |x|=1,|x|>1 und |x|<1.

fuer |x|=1 gilt:
x=1: reihe ist (als geometrische reihe???)konvergent

und fuer x=-1: reihe ist divergent(nur warum??)

fuer |x|<1 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (x^n/(n+x^2) \leq \sum\limits_{k=1}^\infty x^(n-1) \end{eqnarray*}$ (n-1 steht is der exponent) und das konvergiert absolut gegen 0.

und fuer |x|>1 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (x^n/(n+x^2) \geq \sum\limits_{k=1}^\infty 1/2n \end{eqnarray*}$

und und divergiert somit.

kann das irgendwie so stimmen??

27.05.2010, 13:26

Kühlkiste

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Bis auf die Fälle x=1 bzw. x=-1 in Ordnung.
Hast Du schon mal was vom Leibniz-Kriterium gehört?

27.05.2010, 13:37

susa90

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achja,stimmt..dann muesste ja die reihe fuer x=-1 konvergieren,weil die folge 1/(n+x^2) monoton faellt und gegen 0 konvergiert.
hm,nur was ist mit der reihe fuer x=1??divergiert die dann?nur wie zeige ich das?

27.05.2010, 13:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von susa90
fuer |x|<1 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (x^n/(n+x^2) \leq \sum\limits_{k=1}^\infty x^(n-1) \end{eqnarray*}$ (n-1 steht is der exponent) und das konvergiert absolut gegen 0.

Was konvergiert absolut gegen Null und warum sollte das eine Begründung für Konvergenz sein?

27.05.2010, 13:44

Kühlkiste

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Zitat:

Original von susa90
achja,stimmt..dann muesste ja die reihe fuer x=-1 konvergieren,weil die folge 1/(n+x^2) monoton faellt und gegen 0 konvergiert.

Genau!

Zitat:

Original von susa90
hm,nur was ist mit der reihe fuer x=1??divergiert die dann?nur wie zeige ich das?

verwirrt

Die Divergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac 1{n+1}=\sum_{n=2}^\infty\frac 1n \end{eqnarray*}$

ist doch offensichtlich - zumindest wenn die Divergenz der harmonischen Reihe bekannt ist.

27.05.2010, 13:55

susa90

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Forum Kloppe

ohhh,wie bloed!!klar!
danke danke danke! Gott

Gott

jetzt noch eine frage: kann ich dann insgesamt sagen,dass die reihe fuer x in (-1,1) absolut konvergiert und fuer x in [-1,1) bedingt konvergiert? weil fuer das leibniz-kriterium ist ja nur fuer bedingte konvergenz zustaendig,oder?oder hab ich da jetzt einen denkfehler?

27.05.2010, 14:12

klarsoweit

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Ich kenne den Begriff der bedingten Konvergenz nicht. In der Tat ist aber die Reihe für x in [-1,1) konvergent und für x in (-1,1) absolut konvergent.

27.05.2010, 17:50

susa90

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ohh,bedingt konvergent heißen bei uns einfach reihen,die nicht absolut konvergieren.keine ahnung,warum...

vielen vielen dank für deine hilfe! Gott

Gott

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