Störgliedansatz

23.05.2010, 18:45

ElBanditos

Störgliedansatz

Hallo,

die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist gesucht von:

$\begin{eqnarray*} y''-y=e^{-2x} \end{eqnarray*}$

die allg. Lösung der homogenen DGL lautet

$\begin{eqnarray*} y=C_1e^x+C_2e^{-x} \end{eqnarray*}$

nun muss die spezielle Lösung der inhomogenen DGL mit Hilfe des Störgliedansatzes bestimmt weden.

meine Problem dabei ist ich weiß nicht so recht wie ich den Störgliedansatz herleite, also wie ich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ermittle und dann $\begin{eqnarray*} Y(x) \end{eqnarray*}$ aufstelle. verwirrt

Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen.

Danke

23.05.2010, 21:45

Orakel

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RE: Störgliedansatz
setze doch mal ansatzweise die funktion

$\begin{eqnarray*} z(x)=me^{\alpha x} \end{eqnarray*}$

ein. du wirst sehen, dass du m und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ geeignet wählen kannst, so dass z(x) eine spezielle lösung deiner dgl ist!

24.05.2010, 01:02

ElBanditos

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RE: Störgliedansatz
Erst einmal danke für die Antwort, aber wo/wie soll ich die Funktion denn einsetzen? Könntest du mir das etwas genauer erklären, ich weiß nicht so recht wie du das meinst.

Grüße

edit: mir ist nicht klar was m und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist und wie ich damit umgehen muss

24.05.2010, 01:33

Max Simon

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RE: Störgliedansatz
Hi,

Es gibt grundsätzlich 2 Möglichkeiten, lineare DGLs höherer Ordnung zu lösen: einmal analytisch mit Charakteristischem Polynom und so (die hast du scheinbar versucht) und die andere über das Ansatzverfahren. Dieses funktioniert jedoch nicht immer und man muss viele Ansätze auswendig lernen bzw. sich eine Riesen-Fomel merken.

Orakel hat dir hier das Ansatz-Verfahren zur Bestimmung einer speziellen Lösung empfohlen, was sicher die bessere Idee ist.

Man hat gelernt oder liest es irgendwo nach, dass für eine DGL deines Typs der richtige Ansatz ist: $\begin{eqnarray*} y_S(x)=me^{\alpha x} \end{eqnarray*}$ .

Diesen Ansatz für die Spezielle Lösung (deswegen $\begin{eqnarray*} y_S \end{eqnarray*}$ ) setzt du nun einfach in deine DGL ein und bestimmst dann die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Dann hast du sehr schnell eine spezielle Lösung gefunden.

LG Max

24.05.2010, 11:07

ElBanditos

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RE: Störgliedansatz
Guten Morgen,

mein Problem ist immer noch nicht gelöst,

laut meinen Unterlagen ist

$\begin{eqnarray*} Y(x)=e^{\alpha x}( c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ... + c_n x^n) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist

$\begin{eqnarray*} Y(x)=x^m*e^{\alpha x}( c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + ... + c_n x^n) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine m - fache Lösung der charakteristischen Gleichung ist

bezogen auf mein Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \alpha = -2 \end{eqnarray*}$ und durch $\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = \pm 1 \end{eqnarray*}$ also keine Lösung der charakteristischen Gleichung.

Ich habe den Lösungsweg eines Kommilitonen und der hat als Störgliedansatz gewählt:

$\begin{eqnarray*} Y(x)=a*e^{-x}*x \end{eqnarray*}$ und kann ich nicht nachvollziehen,

edit: Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wurde in $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ geändert.

außerdem ist bei ihm auch $\begin{eqnarray*} \alpha = -1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda_2=\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m = 1 \end{eqnarray*}$ außerdem ist $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$

Danke nochmal

24.05.2010, 13:17

Max Simon

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RE: Störgliedansatz
Wenn du den Ansatz deines Kumpels nicht verstehst, solltest du ihn auch nicht verwenden, sondern selbst nach einer Lösung suchen.

Die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms findest du mit $\begin{eqnarray*} \lambda^2-1\overset{!}{=}0\Rightarrow \lambda_{1,2}=\pm 1 \end{eqnarray*}$ . Wegen der rechten Seite $\begin{eqnarray*} e^{-2x}=e^{-2x}(1\cdot x^0) \end{eqnarray*}$ muss natürlich gelten $\begin{eqnarray*} \alpha=-2 \end{eqnarray*}$ und nicht etwa $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ .

Da nun $\begin{eqnarray*} \alpha=-2\neq\pm 1 \end{eqnarray*}$ ist dein Ansatz für die Lösung $\begin{eqnarray*} Y(x)=c_0e^{-2x} \end{eqnarray*}$ . Das ist also dasselbe, wie unser Ansatz zuvor.

Was dein Kumpel da macht, kann ich nicht nachvollziehen, aber es sieht falsch aus.

LG Max

24.05.2010, 14:25

ElBanditos

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RE: Störgliedansatz
Hallo Max,

danke, dein letzter Beitrag war wirklich sehr hilfreich. Freude

Ich habe deinen Rat befolgt und die Löung meines Freund nicht berücksichtig und bin meinen eigenen Weg gegangen.

hier nun mein neuer Ansatz:

$\begin{eqnarray*} Y(x)=c_0e^{-2x} \end{eqnarray*}$

nach dem ich Y(x) zweimal differenziert habe setze ich Y'' und Y in DGL und löse nach $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ auf

$\begin{eqnarray*} 4c_0e^{-2x}-c_0e^{-2x}=e^{-2x} \\ c_0=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

die allg. Lösung der gegebenen inhomogenen DGL heißt dann:

$\begin{eqnarray*} y = e^x(C_1e^x+C_2e^{-x})+\frac{1}{3}e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Richtig?

24.05.2010, 18:59

Max Simon

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RE: Störgliedansatz

Zitat:

Original von ElBanditos
die allg. Lösung der gegebenen inhomogenen DGL heißt dann:

$\begin{eqnarray*} y = e^x(C_1e^x+C_2e^{-x})+\frac{1}{3}e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Richtig?

Nicht ganz.

Also dein $\begin{eqnarray*} c_0=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Damit hast du nun eine Spezielle Lösung $\begin{eqnarray*} y_s(x)=\frac{1}{3}e^{-2x} \end{eqnarray*}$ der inhomogenen Gleichung. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung hast du ja auch schon: $\begin{eqnarray*} y_h(x)=C_1e^x+C_2e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

Für deine Lösung der DGL gilt nun $\begin{eqnarray*} y(x)=y_h(x)+y_s(x) \end{eqnarray*}$ .
Dein $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ hat da also nichts zu suchen.

LG Max

24.05.2010, 21:36

ElBanditos

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RE: Störgliedansatz
Vielen lieben Dank Max! Freude

Hab das sicher übersehen, hatte die allg. Lösung der homogenen Gleichung ja oben schon richtig hin geschrieben, aber trotzdem wieder falsch gemacht unglücklich

.... diese verflu... Schuselfehler - ich werds wohl nie lernen traurig

Schön Abend noch smile

LG

ElBanditos Wink

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