Extremalkonstruktionen

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Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalkonstruktionen
Guten Tag an alle, die das hier lesen ;D

Ja wie das Thema dort oben schon sagt, geht es um Extremalkonstruktionen.
Ich schreibe demnächst eine Klausur und das Thema dort oben kommt leider dran -.-
Ja im Buch sind viele Aufgaben, aber davon verstehe ich keine unglücklich
wie z.B.:

Die Zahl soll so in zwei Summanden a und b zerlegt werden, dass das Produkt aus dem ersten Summanden und dem Quadrat des zweiten Summanden maximal wird.

Wie soll ich hier denn vorgehen?
Die Hauptbedingung lautet so denk ich mal P= a*b
Nebenbedingung 60= ???

Eine andere Aufgabe lautet:
Der Eckpunkt P(x|y) des abgebildeten achsenparallelen Rechtecks liegt auf der Parabel f(x)=3x-x². ( Das Rechteck berührt die y-Achse und geht nicht nach links!) Wie muss x gewählt werden, damit die Rechtecksfläche maximal wird.

Mein Ansatz sah mal so aus aber dann habe ich es aufgegeben.
Die Funktion ist nach oben verschoben und um 3. Dies bedeutet dass die Nebenfunktion etwas mit 3 zu tun hat ...
Bitte um Mithilfe.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Wie kommst du auf:

Zitat:
Nebenbedingung 60= ???

Wo kommt die 60 her? verwirrt

smile
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Zitat:
Original von sulo
Wie kommst du auf:

Zitat:
Nebenbedingung 60= ???

Wo kommt die 60 her? verwirrt

smile


oh habe die Zahl 60 vergessen zu erwähnen smile

sie lautet so Die Zahl 60 soll so in zwei Summanden a und b zerlegt werden, dass das Produkt aus dem ersten Summanden und dem Quadrat des zweiten Summanden maximal wird.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
In dem Fall sollte die NB doch ein Klacks sein. Augenzwinkern

Die HB stimmt noch nicht ganz. Lies noch mal die Aufgabenstellung genau durch.

smile
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
P= a*b²
so? außerdem wie kann man nur sagen, dass es ein klacks sei O.o
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Die HB stimmt jetzt. Freude

Zur NB:

Zitat:
Original von Shadowlucker
Die Zahl soll (so) in zwei Summanden a und b zerlegt werden, ....


Na....? Augenzwinkern
 
 
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
60=a+b?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Das ist die NB. Freude

(War doch nicht wirklich schwer, oder? Augenzwinkern )

Jetzt muss die HB mit nur 1 Variablen geschrieben werden. Nutze dazu die NB.

smile
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
HB: P= a*b²

NB: 60=a+b

60-b=a

P=(60-b)*b²
Das dann auflösen
P= 60b²-b³ Danach 1. Ableitung

P'= -3b²+120b Durch -3 dividieren
b²-40b PQ anwenden und es kommen x1=40 und x2=0 heraus.

und 60-40= 20 Die andere Zahl ist dann a smile
Die andere Aufgabe ist wesentlich schwerer unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Zunächst: Dein Ergebnis stimmt. Freude
(pq-Formel war doch gar nicht nötig... verwirrt )


Zur anderen Aufgabe: Ohne Zeichnung sehe ich nicht, wie man dir da helfen kann...verwirrt
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
ich habs hier hochgeladen. siehe unten. Naja ich finde meine zeichnung einfach genial ;D
Das Viereck soll den Quadrat darstellen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Danke für die Zeichnung. Freude Ist sie so im Original aufgebaut?

So, wie ich es verstehe, soll das Rechteck im 1. Quadranten liegen, 2 seiner Seiten liegen auf den Achsen.

Alles schön und gut, aber der Graph der Funktion sieht so aus:



Nun weiß ich nicht, wo wir das Rechteck hinpacken sollen.... verwirrt
Soll es einfach im 1. Quadranten liegen und 1 Seite auf der x-Achse? Das macht wohl am meisten Sinn.

Was meinst du?
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
oh sorry der Graph lautet f(x)=3-x² ,Naja das kommt halt vom schnellen abtippen unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Alles klar, ich hatte inzwischen auch eine Zeichnung gemacht:

[attach]14799[/attach]

Gut, wir brauchen wieder eine HB und eine NB.

Hast du Vorschläge?

smile
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
Mhh laut der Aufgabe schneidet der Graph an der Stelle (0|3) die y-Achse. Das bedeutet, dass die Nebenfunktion irgendwas mit 3 zu tun hat. Big Laugh

Hauptfunktion evtl. so: A= a*b
Nebenfunktion evtl so: 3= 2*a+b <== Leider keine Ahnung wie man das amchen soll.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
HB: stimmt Freude

NB: ähmm... verwirrt

Die Annahme, dass die Lage des Scheitelpunktes etwas mit dem Rechteck zu tun hat, ist sehr gewagt.

Wie wäre es, wenn du statt dessen die Funktionsgleichung ins Spiel bringst? (Schlauer wäre es in diesem Zusammenhang gewesen, die Seiten des Rechtecks mit x und y zu bezeichnen... Augenzwinkern )

smile
adenin Auf diesen Beitrag antworten »

Habe hier gerade die selbe Aufgabe gepostet und wurde zu deinem Beitrag verlinkt (kennen wir uns zufällig, Shadowlucker? ^^ )

Also die HB ist klar: A=x*y

Bei der NB bin ich auch am Grübeln!
Klar, man sieht schon an der Funktion, dass es eine umgedrehte Normalparabel mit dem y-Achsenabschnitt 3 ist.

Wir hatten nur leider in der Schule gelernt, man brauche eine Vorgegebene Zahl (Volumen, Umfang o.ä.) um eine NB aufstellen zu können.

Das ist hier ja nicht gegeben.
Also entweder kann man etwas in der Art ausrechnen oder es gibt noch einen anderen Weg.
Nur leider finde ich gerade keinen Ansatz :-(
Oder brauche ich vielleicht den Umfang o.ä. des Parabelausschnittes, in dem sich das Rechteck befindet??
adenin Auf diesen Beitrag antworten »

Wo wir schon dabei sind, habe ich zu der nächsten Aufgabe auch noch eine kurze Frage:

(Aufgabe 7)

Ein zylindrischer Behälter für 1000mc^3 Schmierfett hat einen Mantel aus Pappe, während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm^2 viermal so teuer wie die Pappe.
Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

So, mein Problem jetzt: Um die Kosten zu minimieren, müsste der Mantel (Pappe=billig) ja maximal und der Deckel/Boden (Metall=teuer) ja minimal sein.

NB ist ja das Volumen, also: 1000=pi*r^2*h

Aber wie stelle ich die HB auf? Mir wäre es klar, wenn das Minimun oder Maximun gesucht wäre, aber ich kann die HB ja nicht in min und max auftrennen, oder?
Und wenn doch: Wie?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalkonstruktionen
@Adenin

Ich habe schon einen Hinweis gegeben, wie die NB aufzustellen ist:

Zitat:
Original von sulo
NB: ähmm... verwirrt
...
Wie wäre es, wenn du statt dessen die Funktionsgleichung ins Spiel bringst? (Schlauer wäre es in diesem Zusammenhang gewesen, die Seiten des Rechtecks mit x und y zu bezeichnen... Augenzwinkern )


Hift dir das weiter?

smile
adenin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp, aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig unglücklich

Klar ist, dass ich die Funktionsgleichung verwenden muss.
Außerdem habe ich die beiden Punkte P(x|y) und den Ursprung des Rechtecks.

Nur finde ich jetzt keinen Ansatz.
Tut mir leid, aber da brauche ich wohl einen Schubs mehr!

In der Schule haben wir nur Extremalprobleme mit gegebenen Größen bearbeitet. unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann schubse ich mal ein bisschen. Augenzwinkern

Du hast HB: A = y * x

Die NB beschreibt, wie x und y zusammenhängen.
Du weißt, das x muss auf der Funktionsgleichung liegen.
Und man kann statt f(x) auch y schreiben.... smile
adenin Auf diesen Beitrag antworten »

ws du da schreibst, ist mir alles bewusst.
Na, dann versuche ich nochmal, was zusammen zu tüfteln:

A=x*y

für f(x) lässt sich natürlich y schreiben.
Also einfach y=3-x^2

Ich habe keinen Umfang, kein Volumen o.ä. also keine gegebene Zahl.

Ähm... oh.

Kann es sein, dass es einfacher ist, als ich gedacht habe und die NB einfach
y=3-x^2 ist??

Dann wäre auch schon nach y aufgelöst. Bräuchte man nurnoch einsetzten.

Aber so einfach kann es doch nicht sein, oder? Bestimmt hab ich da jetzt einen denkfehler drin, tut mir leid. Hammer
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, so einfach ist es. Freude

Wie sollte es sonst sein? Die Funktion muss doch mit berücksichtigt werden, wie anders könnte es funktionieren?
Das Angenehme an der Aufgabe ist, dass das Rechteck eine Ecke im Ursprung hat.

Deshalb ist die eine Seite x, die andere y bzw. f(x) lang. Nur deshalb ist es (diesmal) so einfach.

smile
adenin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, manchmal will ich einfach um zu viele Ecken denken verwirrt
da hätte ich eigentlich auch so drauf kommen müssen!
Vielen Dank nochmal. Mit HB und NB ist der rest ein klacks.

Ich hoffe nicht zu nerven, aber ich hatte vorhin noch eine frage gepostet und vielleicht könntest du mir noch einen schubs geben

(Aufgabe 7)

Ein zylindrischer Behälter für 1000mc^3 Schmierfett hat einen Mantel aus Pappe, während Deckel und Boden aus Metall sind. Das Metall ist pro cm^2 viermal so teuer wie die Pappe.
Welche Maße muss der Behälter erhalten, wenn die Materialkosten minimiert werden sollen?

So, mein Problem jetzt: Um die Kosten zu minimieren, müsste der Mantel (Pappe=billig) ja maximal und der Deckel/Boden (Metall=teuer) ja minimal sein.

NB ist ja das Volumen, also: 1000=pi*r^2*h

Aber wie stelle ich die HB auf? Mir wäre es klar, wenn das Minimun oder Maximun gesucht wäre, aber ich kann die HB ja nicht in min und max auftrennen, oder?
Und wenn doch: Wie?

Schonmal danke!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist die Aufgabe schon mal besprochen worden und hier auch.

Hilft dir das schon weiter?

smile
adenin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! smile Freude
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Im zweiten Link ist der Metallpreis allerdings das 5-fache des Pappepreises.

Aber für's Prinzip reicht es. Augenzwinkern

edit: Melde dich gerne, wenn du noch Fragen zur Aufgabe hast. smile
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Wie ich sehe, ist mein Problem dank euch zweien gelöst worden.

A=x*y

y=3-x²

Ich wusste nicht, dass die Funktion f(x) eine NB ist. Na dann kann man einfach das einsetzen und auflösen.

A=x*(3-x²)

A=3x-x³

A'=-3x²+3
-3=-3x²
1=x²
Aus der Wurzel käme dann 1 und -1 raus. Da die Aufgabe als das Kästchen rechts war, also dann nur die Zahl 1. Diese in die Normalfunktion einsetzen und es kommt 2 raus. Also der Punkt liegt am(1|2) ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
So ist es. Freude

smile
Shadowlucker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
ok vielen Dank für die schnelle Hilfe :-)
adenin Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mit dem ersten Link gut zurecht gekommen und konnte die Aufgabe dann auch ohne weitere Probleme lösen smile

Ich glaube, aus diesem Forum wird man mich nicht mehr so schnell los Big Laugh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich. Wink

smile
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