Idempotente Matrizen

23.05.2010, 22:36	Steffi84	Auf diesen Beitrag antworten »
Idempotente Matrizen Hi, bin neu hier, und hab ein doofes Problem. Unser Prof. hat neulich einen Satz angeschrieben in welchem er eine Verteilung nachweisen wollte. (In Statistik) Dazu hat er eine symmetrische idempotente Matrix A eingeführt, für welche im wesentlichen gelten sollte A=Q'DQ (Wobei Q orthogonal ist und D eine Diagonalmatrix aus Nullen und Einsen darstellen soll) Kann mir von Euch da jemand Helfen, hab keine Ahnung warum das so ist. Aber ihr seit sicher schlauer als ich. Gruß, Steffi
23.05.2010, 22:48	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine idempotente Matrix A erfüllt $\begin{eqnarray} A^2=A \end{eqnarray}$ oder eben anders $\begin{eqnarray} A^2-A=0 \end{eqnarray}$ . Das bedeutet, dass das Minimalpolynom von A ein Teiler von $\begin{eqnarray} X^2-X \end{eqnarray}$ ist. Folglich kommen nur 0 und eins als Eigenwerte in Frage und die Matrix ist echt diagonalisierbar. Ist die Matrix zusätzlich noch symmetrisch, so gilt wegen des reellen Spektralsatzes, dass es eine ON-Basis aus Eigenvektoren gibt. Mit diesen beiden Informationen folgt dann obige Darstellung
23.05.2010, 22:55	Steffi84	Auf diesen Beitrag antworten »
@Manus Danke für deine schnelle Antwort Aber müsste es dann nicht lauten A=QDQ' da wegen Basiswechsel Q'AQ=D da liegt mein Problem. Liebe Grüße, Steffi
24.05.2010, 08:45	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Q und Q' sind ja invertierbare (und insbesondere zueinander inverse) Matrizen man kann also die Matrixgleichung immer so umformen, dass man die beiden auf der Seite der Gleichung stehen hat, die einem besser passt.
24.05.2010, 12:23	Steffi84	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht dann da nicht QDQ'? Und das ist ungleich Q'DQ, da für eine Inversion/Transformaiton immer gilt (AB)'=B'A kann man die Gleichung ja auch nicht umformen Gruß, Steffi
24.05.2010, 13:52	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch (Q')'=Q. Benenn mal Q' um in T (oder welcher Buchstabe auch immer dir da passt), dann steht es sofort wieder in gewohnter Form da.
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24.05.2010, 16:26	Steffi84	Auf diesen Beitrag antworten »
@Manus Ah! Dankeschön... Da hab ich wohl wieder zu kompliziert gedacht Liebe Grüße!

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