Nicht diagonalisierbare Matrix finden

24.05.2010, 12:10

tempo123

Nicht diagonalisierbare Matrix finden

Hallo alle zusammen,
wie bekomme ich eine nicht diagonalisierbare (2x2)-Matrix, die doppelten Eigenwert von 1 hat?

Normalerweise hat man ja immer die Matrix gegeben und schaut dann nach ihren Eigenwerten, -vektoren etc. und prüft dann, ob sie diagonalisierbar ist.

Wie kann ich aus meiner Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf meine Matrix $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schliessen, folgendes im Hinterkopf behaltend:

$\begin{eqnarray*} D=Q^{-1}BQ \leftrightarrow QD=BQ \leftrightarrow QDQ^{-1}=B \end{eqnarray*}$

24.05.2010, 12:12

tigerbine

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RE: Nicht diagonalisierbare Matrix finden
Was sagt denn die JNF zum Thema.... Da sehe ich eine "1" die noch in die Diagonalmatrix geschrieben werden will.... nur wo. Augenzwinkern

Dein "doppelt" ist also eine zu ungenaue Formulierung. Doppelt bzgl. welcher Vielfachheit. Augenzwinkern

24.05.2010, 12:25

tempo123

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Die 1, die du meinst, wird vermutlich b sein^^ aber hier sollen wir nicht via JNF argumentieren, sondern lediglich benutzen, dass die beiden Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = \lambda_{2} = 1 \end{eqnarray*}$ sind (geom. resp. algebr. VFH nicht gegeben); und man soll B schlicht so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} B \neq I \end{eqnarray*}$ ist.

Wir wissen ja, dass $\begin{eqnarray*} B\vec{v}=\lambda\vec{v} \end{eqnarray*}$ ist.

24.05.2010, 12:30

tigerbine

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Aber man hat euch das Denken doch nicht verboten.... Und bei 2x2 bleiben ja nicht soooo viele Möglichkeiten....

24.05.2010, 13:04

tempo123

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Ja, das ist mir schon klar.
Ich habe ja auch eine Matrix gefunden, nur wie kann ich das allgemein definieren, wie die matrix in terms of a,b,c,d aussehen muss, damit sie nicht diagonalisierbar ist?

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre eine Möglichkeit.

Würde ich jetzt das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} P_{B}(\lambda)=(a-\lambda)^{2}(d-\lambda)^{2}-bc = 0 \end{eqnarray*}$ aufstellen, dann ausmultiplizieren und Argumentieren, für welche Werte von a,b,c,d das Polynom nur die Nullstelle 1 hat oder wie?

24.05.2010, 13:08

tigerbine

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Was willst du nun eigentlich. Im ersten Post fragst du nach "einer" matrix (-> Beispiel reicht) und nun sollen wir a,b,c,d allgemein in Relation setzen, so dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist?

Ich würde mal im LinA Script nachschlagen, was notwendig/hinreichend für Diagonalisierbar ist. Da musst du dann den hebel ansetzen. Durch die beiden Eigenwerte ist das ch.Poly doch schon klar. Da ist nicht anzusetzen.

Zitat:

Doppelt bzgl. welcher Vielfachheit.

Und wir nehmen zum Modellieren natürlich immer die schönste Gestalt, die wir mit einer Matrix bekommen können. D.h. den schönsten Repräsentanten einer Äquivalenzklasse. Augenzwinkern

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