Beschränktes Wachstum, Kurvenuntersuchung

24.05.2010, 13:05

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränktes Wachstum, Kurvenuntersuchung

Meine Frage:
Hallo liebe Leute!
Ich verbringe mein Pfingstwochenende mit Mathehausaufgaben - was gibt es schöneres!
Allerdings bleibe ich an einigen stellen hängen. Ich weiß oftmals den Ansatz, aber nicht den Rechenweg. Es geht um folgende Aufgabe:

Die Geschwindigkeit einer in einer Flüssigkeit sinkenden Metallkugel lässt sich durch eine Funktion v mit v(t) =
10/a(1 - e^(-at)) beschreiben. Dabei ist a > 0, t in Sekunden nach Beginn des Sinkvorgangs und v(t) in m/s.

a) Für eine Kugel k1 gilt: Ihre Geschwindigkeit nähert sich mit zunehmender Sinkdauer dem Wert 14 m/s an.
a.1. Berechnen Sie den Wert des Parameters a für die Kugel K1. (Teilergebnis a = 0,71)
a.2. Skizzieren Sie für diese Kugel K1 das Schaubild von v.
a.3. Wann überschreitet die Geschwindigkeit der Kugel 5 m/s?
a.4. Zeigen Sie, dass die Geschwindigkeit der Kugel ständig zunimmt.
a.5. Berechnen Sie die Länge des nach zwei Sekunden zurückgelegten Wegs.

b) Für eine zweite Kugel K2 gilt a = 0,5.
b.1. Dieses beginnt drei Sekunden nach der Kugel K1 von der gleichen Stelle aus zu sinken.
b.2. Skizzieren Sie das Schaubild der Geschwindigkeitsfunktion von K2 im vorhandenen Koordinatensystem.
b.3. Wann ist der Vorsprung von K1 am größten?

Wäre euch allen wirklich dankbar, wenn ihr mal einen Blick drauf werfen würdet, um mir zu helfen. Habe hier schon oft gute Hilfe gefunden.
Also viel Spaß beim miträtseln und vielen vielen Dank im Vorraus!

Meine Ideen:
a.1.: Mir ist klar, dass die Lösung mit lim: t gegen unendlich ausgerechnet wird, jedoch fehlt mir ein richtiger Rechenweg, da ich mit diesen Grenzwertrechnungen generell nicht klar komme.
a.2.: ist eben das Schaublid, habe ich mit dem Teilergebnis aus a.1. gezeichnet.
a.3.: v(t)=5
5=14(1-e^(-0,71*t)
t=0,62
a.4.: fehlt mir jegliche Erklärung/Rechnung
a.5.: v(t) im Integral von 0 bis 2 ergibt dann 13,04 m
Die Rechnung ist mir klar, nur fehlt mir der Weg zur Stammfunktion von 14(1-e^(-0,71*t)), könnt ihr mir das erklären und aufschreiben?

b.1.: u(t)=20(1-e^(-0,5*(t-3)))
b.2.: eben Skizze
b.3.: Gleichsetzen der Funktionen v(t) = u(t), jedoch habe ich Probleme mit den verschiedenen Formen von e^... auch hier wäre ein Rechenweg hilfreich für mein Verständnis.

24.05.2010, 13:45

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:

was gibt es schöneres!

Nicht wahr? Mathematik ist doch was Tolles. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zuerstmal schreiben wir die Funktion nochmal hin:

$\begin{eqnarray*} v_a(t) = \frac{10}{a} \cdot \left(1 - e^{-at}\right) \end{eqnarray*}$

Aufgabe a.1)

Du hast korrekt festgestellt, dass erstmal $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} v_a(t) \end{eqnarray*}$ berechnet werden sollte (in Abhängigkeit von a).
In unserer Funktion kommt 't' ja nur einmal vor. Schauen wir uns doch mal an, was passiert, wenn dieses t nun immer größer wird.
Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} -at \to -\infty \end{eqnarray*}$ , denn a ist ja nach Voraussetzung (echt) größer als Null (verstehst du, warum a < 0 oder a=0 was ändern würde?).
Was passiert also mit $\begin{eqnarray*} e^{-at} \end{eqnarray*}$ , wenn das so ist? Das Argument der Exponentialfunktion geht gegen minus Unendlich. Was der Wert der e-Funktion dann macht muss man eben wissen - oder sehen:

Jetzt mache du mal weiter:

Was passiert mit $\begin{eqnarray*} e^{-at} \end{eqnarray*}$ ?
Was passiert dann mit dem Klammerausdruck $\begin{eqnarray*} (1 - e^{-at}) \end{eqnarray*}$ ?
Und was ist dann letztendlich der Grenzwert?

Für die weiteren Aufgaben aus a) machen wir mal eine Skizze mit dem vorgelegten Teilergebnis:

Aufgabe a.4)

Anders formuliert: Zeige, dass $\begin{eqnarray*} v_{0.71}(t) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist. Dafür gibt es ein Kriterium, das die Ableitung verwendet. Hilft das schon?

Aufgabe a.5)

Der Weg ist dir klar - gut.
Wie integriert man denn die e-Funktion $\begin{eqnarray*} e^{kx} \end{eqnarray*}$ ? Genau das musst du hier machen (mit k = -a und x=t sozusagen). Wenn dir die Form der Funktion Probleme bereitet, multipliziere die Klammer erstmal aus. Dann hast du einen konstanten Summanden und eine e-Funktion mit einem Faktor. Kannst du damit mehr anfangen?

Die Aufgabe b) sparen wir uns mal, bis wir die a) fertig haben.

air

24.05.2010, 15:04

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

So, verzeiht den Doppelpost, aber:

Ich sehe, dass KunstKenner gerade eine Antwort schreibt. Dummerweise muss ich in wenigen Minuten weg. Wäre also schön, wenn ggf. jemand dann für mich übernimmt, andernfalls muss KunstKenner sich bis nachher gedulden.

air

24.05.2010, 15:18

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Sooo..
Leider verstehe ich nicht, warum a kleinergleich null etwas ändern würde, nein.
Aber ich sehe ja in der Grafik, dass die e-Funktion e^-at annähernd 0 wird.
Dann wird aus der Klammer (1-0)=1. Und letztendlich steht dann nur noch 10/a da.
Nun fehlt mir immernoch das Mittel um a auszurechnen. Und wie schreibe ich denn eine Rechnung mit "lim" richtig auf? Habe soetwas in der Schule nur sehr sporadisch behandelt und dort eine Wissenslücke.. unglücklich

unglücklich

traurig

Zum nächsten Punkt: Also muss ich die Ableitung von v(t) bilden? Wie nehme ich das vor? (Stehe bei e-Funktionen extrem auf dem Schlauch) Und was bringt mir dann die Ableitung?
Ausmultipliziert ergibt sich für Aufgabe a.5.:
14 - 14 e^(0,71t) und dann?
Es sind einfach immer dieselben Stellen an denen ich feststecke, da diese im Unterricht sehr schnell behandelt wurden und ich dann einfach nicht mitgekommen bin.
Danke schonmal für die ersten Hilfsangebote, finde diesen Weg echt gut!

Um auf die Zwischenantwort zu antworten xD
Muss die Aufgabe donnerstagfrüh in der Schule erklären können, bis Mittwochnachmittag ist also einigermaßen Zeit smile

smile

24.05.2010, 17:44

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KunstKenner
Leider verstehe ich nicht, warum a kleinergleich null etwas ändern würde, nein.[/latex]

Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} -at = 0 \cdot t = 0 \end{eqnarray*}$ und das geht für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ sicherlich nicht gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , sondern gegen Null.
Im anderen Fall $\begin{eqnarray*} a < 0 \end{eqnarray*}$ ist dann ja $\begin{eqnarray*} -a > 0 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} -at \end{eqnarray*}$ das Produkt einer positiven Zahl mit t, wobei t gegen Unendlich geht. Das geht dann natürlich gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .

Um also sagen zu können, dass $\begin{eqnarray*} -at \to -\infty \end{eqnarray*}$ ist, ist die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ wirklich wichtig.

[quote]Aber ich sehe ja in der Grafik, dass die e-Funktion e^-at annähernd 0 wird.

Korrekt. Und dass es "anähernd Null wird" bedeutet: der Grenzwert ist Null.

Zitat:

Dann wird aus der Klammer (1-0)=1. Und letztendlich steht dann nur noch 10/a da.

Richtig. Und jetzt richtig aufgeschrieben heißt das dann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} v_a(t) = \frac{10}{a} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nun fehlt mir immernoch das Mittel um a auszurechnen.

Wieso denn?
Schau mal, was ich direkt über dem hier geschrieben habe mit dem Limes. Der soll nun gleich 14 sein. Das ist eine ganz simple Gleichung für a, die du lösen kannst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Und wie schreibe ich denn eine Rechnung mit "lim" richtig auf?

zum Bleistift so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} v_a(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{10}{a} \cdot (1 - \underbrace{e^{-at}}_{\to 0}) = \cdots \end{eqnarray*}$

Den Rest kannst du mal selber versuchen aufzuschreiben, ich kann dir dann gerne sagen ob das so in Ordnung ist und was man vllt. besser machen kann! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Zum nächsten Punkt: Also muss ich die Ableitung von v(t) bilden? Wie nehme ich das vor? (Stehe bei e-Funktionen extrem auf dem Schlauch) Und was bringt mir dann die Ableitung?

Eine differenzierbare Funktion f, für die $\begin{eqnarray*} f'(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle x mit $\begin{eqnarray*} x_1 \leq x \leq x_2 \end{eqnarray*}$ gilt, ist im Intervall $\begin{eqnarray*} [x_1, x_2] \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend.
Das ist auch sehr anschaulich: Die Ableitung gibt dir doch gerade die Steigung der Funktion an. Wenn die Ableitung also immer (echt) größer als Null ist, so steigt die Funktion immer - und im Beispiel der Geschwindigkeit auf der y-Achse heißt das, dass die Geschwindigkeit immer zunimmt.

Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ ? Wie lautet die Kettenregel? Du brauchst nur diese beiden Dinge um deine Funktion abzuleiten, nachdem du sie, wie schon getan (wenn auch mit einem vergessenen Minuszeichen), in

$\begin{eqnarray*} v_{0.71}(t) = 14 - 14 \cdot e^{-0.71t} \end{eqnarray*}$

umgeschrieben hast. Denk natürlich dran, dass du einfach summandenweise ableiten darfst und dass konstante Summanden beim Ableiten wegfallen.

Um das Integrieren kümmern wir uns, wenn wir das Differenzieren mal hinbekommen haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

24.05.2010, 22:52

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Sooo!
Wahnsinn, ich verstehe es sogar!
Also, ich habe es jetzt so aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } v\left(t\right) = \lim_{t \to \infty } \frac{10}{a} \left(1- e^{- at} \right) = \lim_{t \to \infty } \frac{10}{a} \left(1- 0\right) = \lim_{t \to \infty } \frac{10}{a} = 14 \end{eqnarray*}$
Ist das so möglich? Also wird das von einem Lehrer so akzeptiert?
Dann folgt noch $\begin{eqnarray*} \frac{10}{a} = 14 = 0,7142857142857143 \end{eqnarray*}$
Richtig?
Um den Rest kümmere ich mich dann im Laufe des morgigen Tages.
Gute Nacht allen Mathe-Genies!

Anzeige

25.05.2010, 00:14

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KunstKenner
$\begin{eqnarray*} = \lim_{t \to \infty } \frac{10}{a} \left(1- 0\right) \end{eqnarray*}$

Das wird so vllt. akzeptiert, ist aber leider falsch aufgeschrieben. Mache es wirklich so wie ich mit einer "Klammer" darunter, die zeigt, was passiert. Einfach mal nach Belieben an manchen Stellen Grenzwerte zu bilden und an anderen nicht ist sehr gefährlich und oft falsch - auch wenn es hier gut geht.

Zitat:

Dann folgt noch $\begin{eqnarray*} \frac{10}{a} = 14 = 0,7142857142857143 \end{eqnarray*}$

Du meinst es richtig, aber das letzte Gleichheitszeichen ist schlicht falsch. 14 und 0.71... sind natürlich nicht gleich.
Vielmehr so:

$\begin{eqnarray*} \frac{10}{a} = 14 ~\Rightarrow~ a \approx 0.71 \end{eqnarray*}$

Rechne auch nicht mit unnötig vielen Nachkommastellen ... braucht auch keiner. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du exakt bleiben willst, dann ist $\begin{eqnarray*} a = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \end{eqnarray*}$ . Das würde ich übrigens sogar vorziehen .. aber eure Teillösung rechnet ja (leider) auch nicht exakt.

Exakt zu rechnen ist darum besser, weil Ergebnisse exakter werden, weil es Verständnisprobleme eliminieren kann und weil die Zahlen so viel schöner sind.

air

25.05.2010, 17:14

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiter gehts!
Also, die Kettenregel besagt: "innere mal äußere Funktion"

y = f(u) mit u = g(x) -> y' = f'(x) * g'(x)

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{x} = e^{x} \end{eqnarray*}$

Die 14 fällt also als Konstante weg.

$\begin{eqnarray*} v_{0,71} \left(t\right) = 14e^{-0,71t} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich nur noch bestimmen, welche welche Funtkion ist.

Die Äußere Funktion ist $\begin{eqnarray*} 14e^{x} \end{eqnarray*}$ und die innere Funktion ist $\begin{eqnarray*} x= -0,71\cdot t \end{eqnarray*}$ . Ist das richtig?

Dann wäre die Ableitung v'(x) = 14e^(-0,71t)*-0,71 ?

Scheint mir nicht sonderlich logisch irgendwie? HILFE! geschockt

geschockt

25.05.2010, 17:46

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KunstKenner
y = f(u) mit u = g(x) -> y' = f'(x) * g'(x)

Nein - wenn schon, dann y' = f'(u) * g'(x). Das ist ein bedeutender Unterschied!
Ich sage immer, dass man sich die Kettenregel in Worten so merken sollte:

"Äußere Ableitung von der inneren Funktion mal äußere Ableitung".

Zitat:

Die 14 fällt also als Konstante weg.

$\begin{eqnarray*} v_{0,71} \left(t\right) = 14e^{-0,71t} \end{eqnarray*}$

Ja, die 14 fällt beim ableiten weg. Du machst jetzt aber zwei Fehler

1) Es fällt bei der Ableitung weg, nicht aber bei der Funktion. Dein Gleichheitszeichen dort ist einfach falsch!
2) Beim Ableiten geht die '14' verloren, nicht aber das Minus vor dem zweiten Summanden

Zitat:

Die Äußere Funktion ist $\begin{eqnarray*} 14e^{x} \end{eqnarray*}$ und die innere Funktion ist $\begin{eqnarray*} x= -0,71\cdot t \end{eqnarray*}$ . Ist das richtig?

Abgesehen von dem fehlenden Minus - ja.
Im Übrigen musst du aber weder das Minus noch den konstanten Faktor 14 in die äußere Funktion "reinpacken". Das sind ja einfach zwei Faktoren und konstante Faktoren bleiben beim Ableiten stehen:

y = c * g(x) => y' = c * g'(x)

Ist aber auch vollkommen okay, wenn du die Faktoren dazunimmst!

Zitat:

Dann wäre die Ableitung v'(x) = 14e^(-0,71t)*-0,71 ?

Bis auf das fehlende Minuszeichen (das sich mit dem Minus des letzten Faktors dann neutralisiert) vollkommen korrekt!

Es ist also

$\begin{eqnarray*} v_{0.71}'(t) = (-14) \cdot (-0.71) \cdot e^{-0.71 \cdot t} = 10 \cdot e^{-0.71 \cdot t} \end{eqnarray*}$

(Ich habe hier 14*0.71 als 10 notiert, denn wenn du dich erinnerst, war unser a doch gerade 10/14, was wir als 0.71 angenähert haben. Ich rechne hier also etwas exakter, dann ist die Zahl auch viel schöner!)

Jetzt willst du zeigen, dass diese Ableitung stets größer als Null ist. Dazu bedarf es lediglich einen ganz kurzen Satz, der eine wichtige Eigenschaft der e-Funktion bezüglich ihrer Lage zur x-Achse beschreibt. Welche?

air

25.05.2010, 18:06

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von airblader
Das ist auch sehr anschaulich: Die Ableitung gibt dir doch gerade die Steigung der Funktion an. Wenn die Ableitung also immer (echt) größer als Null ist, so steigt die Funktion immer - und im Beispiel der Geschwindigkeit auf der y-Achse heißt das, dass die Geschwindigkeit immer zunimmt.

Also: da die Ableitung der Funktion größer als Null ist, steigt die Funktion.
Oder ist dazu noch mehr zu sagen?

Diese kleinen Gleichsetzungsfehler meinerseits sind meistens mehr laute Gedanken als ernstgemeinte Rechnungen, Nebenrechnungen also. Und mit dem Minus hab ichs auch..

Wenn dazu nichts mehr zu sagen wäre, könnten wir ja mit Aufgabe a.5. weitermachen.

25.05.2010, 18:19

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KunstKenner
Also: da die Ableitung der Funktion größer als Null ist, steigt die Funktion.
Oder ist dazu noch mehr zu sagen?

Der logische Schluss stimmt - aber du musst schon auch begründen, dass die Ableitung größer als Null ist. Dazu bedarf es einer wichtigen Eigenschaft der e-Funktion.

Also - auf zur Aufgabe a.5)

Wir wollen nun $\begin{eqnarray*} \int~v_{0.71}(t)~\dd t \end{eqnarray*}$ bilden, statt die Funktion abzuleiten.
Beachte: So wie man summandenweise ableitet, kann man auch summandenweise integrieren. Der erste, konstante Summand (die 14) sollte ja kein Problem sein, oder?

Bleibt der zweite Summand. Das Minus und die 14 ziehen wir raus:

$\begin{eqnarray*} -14 \cdot \int~e^{-0.71\cdot t}~\dd t \end{eqnarray*}$

Wenn wir das Ergebnis ableiten müssen wir ja wieder auf den Integranden kommen. Schauen wir uns doch mal an, was passiert, wenn wir den Integranden ableiten: Es kommt der Faktor (-0.71) dazu.
Was können wir also tun, um dies im Voraus auszugleichen? Also was müssen wir vorne hinmultiplizieren, so dass der Faktor -0.71, der beim Ableiten wieder entsteht, eliminiert wird?

air

25.05.2010, 18:37

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

So, der konstante Summand 14 müsste dann doch durch ein "t" ergänzt werden oder?

Und das Integrationsproblem hat mit partieller Integration zu tun wie es mir scheint? Allerding weiß ich leider nichtwirklich, was ich tun kann, um die -0,71 zu eliminieren..

Man könnte mit -12/5 multiplizieren, dann wären die -5/7 wieder weg, aber ich weiß nicht, ob das nicht der Holzweg ist?

25.05.2010, 19:13

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - eine Stammfunktion der konstanten 14 ist dann einfach 14t.

Überlegen wir mal so:

Wie eliminiere ich den Faktor 1/2 ? Indem ich mit 2 multipliziere
Wie eliminiere ich 1/3 ? Indem ich mit 3 multipliziere
Wie eliminiere ich 5/6 ? Indem ich mit 6/5 multipliziere

Soll heißen: Man kann den Faktor eliminieren, indem man seinen Kehrwert hinmultipliziert.

Mal testen, dann hätten wir $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{0.71} \cdot e^{-0.71\cdot t} \end{eqnarray*}$

Leiten wir das mal ab:

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac{1}{0.71} \cdot e^{-0.71\cdot t}\right)' = -\frac{1}{0.71} \cdot (-0.71) \cdot e^{-0.71 \cdot t} = 1 \cdot e^{-0.71\cdot t} \end{eqnarray*}$

Sieht doch gut aus, mhm? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt für diese 'Umkehrung der Kettenregel' übrigens sogar eine Formel, die aber nur gilt, wenn die innere Funktion linear ist (was hier ja der Fall ist). Wenn man die nicht kennt muss man eben überlegen und "basteln".

Mit partieller Integration hat das nichts zu tun.

air

25.05.2010, 20:28

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Also verhält es sich nun folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! v(t) \, dt = \int_0^2 \! 14t \, - 14\int_0^2 \! -\frac{1}{0,71}\cdot e^{-0,71t} \, dt \end{eqnarray*}$

Ist das dann die Stammfunktion? Die muss ich nämlich immer dazu angeben. Wenn es die Stammfunktion ist, müsste diese doch in eckigen Klammern stehen und nicht mit dem Integralzeichen davor?

25.05.2010, 20:33

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KunstKenner
Ist das dann die Stammfunktion?

Nein, denn die Stammfunktion existiert nicht. Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen!
Den Fehler, den du noch hast, nennst du bereits selbst:

Zitat:

Wenn es eine Stammfunktion ist, müsste diese doch in eckigen Klammern stehen und nicht mit dem Integralzeichen davor?

Korrekt!
Und in den eckigen Klammern muss man auch die Integrationskonstante nicht schreiben, denn du hast hier ein bestimmtes Integral (d.h. du hast Integrationsgrenzen) und dann ist die Integrationskonstante egal. Man wählt sich eben immer die einfachste Stammfunktion, nämlich die mit der Integrationskonstanten Null.

air

25.05.2010, 20:41

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist in diesem Fall die Integrationskonstante? Wie schreibe ich das ganze denn in eckige Klammern? Ich habe ja zweimal das Integralzeichen.

25.05.2010, 20:45

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integrationskonstante hat erstmal keinen konkreten Wert.
Sie existiert, weil beim Ableiten ja konstante Summanden wegfallen. Diesen Informationsverlust muss man ausgleichen.

Beispiel: f(x) = x² und g(x) = x²+1 haben beide die selbe Ableitung. Wenn man die Ableitungen wieder integriert ist es unmöglich zu entscheiden, welche Stammfunktion nun zu f und welche zu g gehören müsste.
Alle Funktionen h(x) = x²+c mit einer beliebigen Zahl c sind Stammfunktionen zu h'(x) = 2x.

Zum Aufschreiben:

Integriert man eine Funktion f, welche die Stammfunktion F hat, auf dem Intervall [a,b], so schreibt man das als

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(x)~\dd x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$

Übertrage das nun auf deine Aufgabe.

air

25.05.2010, 21:03

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Formel kenne ich und ich könnte sie auch anwenden, wenn ich wüsste, wie ich diesen Term in eckige Klammern beförder...

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! v(t) \, dt = \int_0^2 \! 14t \, - 14\int_0^2 \! -\frac{1}{0,71} \cdot e^{-0,71t} \, dt = \left[14t- 14 \cdot - \frac{1}{0,71} \cdot e^{-0,71t} \right]_{0}^{2} \end{eqnarray*}$

Das ist ja eindeutig falsch, würde ich sagen..

25.05.2010, 21:06

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Der mittlere Term ist falsch, ja. Hinten stimmt es wieder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Tatsächlich kannst du den ersten und letzten Term einfach so hinschreiben - das passt.

Du musst das Integral nicht in die Integrale der Summanden zerlegen. Das habe ich nur der Erklärung halber gemacht. Wenn du weißt, dass du summandenweise integrieren darfst, dann kannst du das auch einfach direkt machen - ohne Umwege.

air

25.05.2010, 21:09

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte, dass ich so nervig bin, und vielleicht etwas begriffsstutzig, aber könntest du mir denn mal "die" Stammfunktion in eckigen Kammern hinschreiben, so wie es richtig ist? Ich verstehe das nicht.

25.05.2010, 21:14

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Der letzte Term deines (vor-)letzten Posts ist genau das, wie es aussehen müsste. Nur eben der mittlere Term mit den zwei Integralzeichen ist falsch.

air

25.05.2010, 21:22

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso! Ich bin doof, jetzt habe ich es geschnallt smile

smile

Also nocheinmal zusammengefasst, um ganz sicher zu gehen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! v(t) \, dt = \left[14t+ 10 \cdot e^{-0,71t} \right]_{0}^{2} = 13,048 \end{eqnarray*}$

Ja, ja oder ja? :-D

Danke übrigens, dass du soviel Geduld mit mir hast!

Wenn das so stimmt, dann nehmen wir uns das letzte Problem vor oder?

25.05.2010, 21:42

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ob das numerische Ergebnis passt weiß ich nicht - aber in den TR einsetzen etc. sollte ja nicht mehr das Problem sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aufgabe b.1) und b.2) hast du ja im Grunde schon gelöst.
Kommen wir also zur Aufgabe b.3)

Wir haben also von zwei Kugeln die Funktionen, die angeben, wie schnell sie zum Zeitpunkt t sind. Würdest du die Funktionen gleichsetzen, so würdest du ja nur ausrechnen, wann sie gleich schnell sind - das wollen wir nicht.

Wir wollen eine Aussage über die Position der Kugeln machen, d.h. über den zurückgelegten Weg. Wie können wir den zurückgelegten Weg zu einem beliebigen Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ berechnen?
Tipp: In Aufgabe a) haben wir eben den nach 2 Sekunden zurückgelegten Wert ausgerechnet. Jetzt das Ganze nicht für 2 Sekunden sondern für einen beliebigen Zeitpunkt. Wie kann man damit dann den Abstand der Kugeln berechnen?

Kleine Anmerkung: Die rote Kurve verläuft konstant bei Null, bei t=3 startet sie dann.

25.05.2010, 22:07

KunstKenner

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das nimmt jetzt doch ein wenig viel Zeit in Anspruch und deswegen werde ich mich morgen damit weiter befassen. Mit neuer Energie und weniger Stupidität.
Also, gute Nacht! Und tausend Dank! Gott

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »