generelle Fragen zur Induktion

30.10.2006, 18:14

Apokalypse

generelle Fragen zur Induktion

Ich habe mal eine paar generelle Fragen zur vollständigen Induktion.

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k =1+2\ldots +n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~k =1=\frac{1(1+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} ??? \end{eqnarray*}$ Was muss ich hier schreiben?

Induktionsbehauptung: Es ist zu zeigen, dass folgendes gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k =1+2+\ldots +n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} n\rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k=\sum_{k=1}^{n}~k+(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ??? \end{eqnarray*}$ Was muss ich hier formal zwischen den beiden Schritten hinschreiben?

$\begin{eqnarray*} =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt meine Frage: Ist dieser Beweis richtig aufgeschrieben und könnte bitt jemand schauen, was bei den Fragezeichen hingehört. Wink

30.10.2006, 18:21

Menelaos

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RE: generelle Fragen zur Induktion

Zitat:

Original von Apokalypse

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k=\sum_{k=1}^{n}~k+(n+1) \end{eqnarray*}$

Beide Aussagen sind äquivalent. Deswegen auch das Gleichheitszeichen. Augenzwinkern

Ansonten, verwirren mich die ganzen Begriffe auch öfters, z.B. überschneidet sich der Sinn von Induktionsvorraussetzung und Induktionsbehauptung manchmal... man sollte da nicht zu sehr auf die Bezeichnungen achten, mehr auf den eigentlichen Sinn.

Aber mich würde trotzdem mal interessieren, wie ein formal perfekter Induktionsbeweis auszusehen hat!

edit: Achso, sorry!

30.10.2006, 18:25

Apokalypse

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RE: generelle Fragen zur Induktion

Zitat:

Original von Apokalypse

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k=\sum_{k=1}^{n}~k+(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ??? \end{eqnarray*}$ Was muss ich hier formal zwischen den beiden Schritten hinschreiben?

$\begin{eqnarray*} =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \end{eqnarray*}$

Ich meinte eigentlich was ich hier zwischen den beiden Schritten schreiben muss. Wie erkläre ich den Übergang von der einen zur nächsten Gleichung verwirrt

Außerdem ist mir der Sinn der Induktionsvoraussetzung nicht ganz

30.10.2006, 18:44

klarsoweit

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RE: generelle Fragen zur Induktion
Ein kleiner Exkurs "vollständige Induktion":

Du hast eine Aussage A(n), die du für alle n aus N oder zumindest für einen Teil davon zeigen sollst. Also schreiben wir diese Aussage mal hin:

$\begin{eqnarray*} A(n): \sum_{k=1}^{n}~k= \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es 2 Dinge zu tun:
1. Induktionsanfang
2. Induktionsschluß

zu 1: Da wird für n der erste Wert eingesetzt, für den die Aussage gelten soll. In der Regel ist das n=1. Das Einsetzen des Anfangswertes sollte zu einer wahren Aussage führen.

zu 2: beim Induktionsschluß wird angenommen, daß die Aussage A(n) für ein n aus N bewiesen ist. Die Aussage A(n) ist nun also die Induktionsvoraussetzung. Zu zeigen ist jetzt, daß dann auch die Aussage A für die nächste Zahl (das wäre also n+1) gilt. Das heißt, es muß gezeigt werden, daß dann auch A(n+1) gilt. In Formel:
A(n) ==> A(n+1)

A(n+1) ist beim Induktionsschluß das Induktionsziel. Und da es immer gut ist, wenn man weiß, wohin die Reise gehen soll, schreiben wir das mal für diese Aufgabe hin:
$\begin{eqnarray*} A(n+1): \sum_{k=1}^{n+1}~k= \frac{(n+1)(n+1+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich einfach alle n durch n+1 ersetzt.

Noch Fragen? Hier gibt es einen Workshop:
[Workshop] Vollständige Induktion

31.10.2006, 18:25

Menelaos

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Nichts gegen euren Workshop, aber der Artikel von Matroid ist in meinen Augen etwas besser Augenzwinkern

http://www.mathe-online.at/materialien/m...iles/vi/vi.html

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