Rekonstruktion von Funktionen II |
| 24.05.2010, 13:07 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe mich jetzt mal an eine schwierigere Aufgabe begeben und muss irgendwo einen Fehler gemacht haben. Irgendwie komme ich leider nicht weiter. Zur Aufgabenstellung: Der Graph einer ganzrationellen Funktion dritten Grades ist Punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet den Graphen g(x)=1/2 (4x+x) im Ursprung senkrecht. Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x=1. Wie lautet die Funktionsgleichung. ges: f(x)=ax³+bx²+cx+d geg: g(x) 1/2 (4x+x) Schneidepunkt im Ursprung S(0/0) zweiter Berührungspunkt x=1 a: f(0)=g(0) b: f´(0)=g´(0) c: f(1)=g(1) d: f´(1)=g´(1) Ich habe leider so eine Aufgabe noch nicht gelöst und komme alleine nicht weiter. Ich habe die Aufgabe noch weiter gerechnet, wobei c=0 und d=0 rauskommen, was richti sein muss. Wenn ich aber a und b ausrechnen will funktioniert es leider nicht 
Von daher vermute ich, dass die Bedingunen, die ich zu a bis d aufgestellt habe, falsch sein müssen. |
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| 24.05.2010, 13:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast leider ein paar falsche Annahmen gemacht. Zunächst solltest du wissen, was "punktsymmetrisch zum Ursprung" für eine Funktion bedeutet. Dann solltest du wissen, was es bedeutet, wenn sich zwei Graphen senkrecht schneiden. Informiere dich dazu, dann stelle noch einmal die Bedingungen auf. 
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| 24.05.2010, 14:23 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, Punktsymmetrisch zum Ursprung beudetet doch, dass ich dort eine Wendestelle habe, oder? a f(0)=0 b f´´(0)=0? c und d lasse ich mal weg, die fallen eh raus. Aber stimmen können die Bedingunen auch nicht wirklich:/ Hilfe, ich bin verwirrt 
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| 24.05.2010, 14:34 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, du hast eine Wendestelle, die Bedingung f ''(0) = 0 stimmt. 
Die Bedingung f(0) = 0 stimmt auch.
Somit fallen 2 (gerade) Variablen weg und du hast noch: f(x) = ax³ + bx Jetzt kommt die Gerade g ins Spiel. Weißt du inzwischen was das mit den senkrecht aufeinander stehenden Geraden bedeutet?
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| 24.05.2010, 15:30 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Senkrecht aufeinander? Dann haben wir doch eine Orthogonale, aber was ich mit diesem Wissen jetzt anfagen kann, das weiß ich nicht :| Kann man allgemein sagen, dass bei Punktsymmetrie c und d immer wegfallen? |
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| 24.05.2010, 15:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Würde ich so nicht formulieren wollen... Besser ist: f(x) enthält nur Potenzen mit ungeraden Exponenten.
Zu den Geradensteigungen: allgemein gilt ...Anstieg von Gerade 1 ...Anstieg von Gerade 2 Das musst du nutzen.
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| 24.05.2010, 15:50 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmmm.... ich habe also g(x)=1/2 (4x+x) löse ich auf, dann habe ich 2x+0,5x folglich hätte ich dann eine Steigung der Orhtogonalen von -0,5. Das müsste dann bei x=1 eine Steigung von -0,5 ergeben und eine Steigung von 0 im Koordinatenursprung( Wobei die Steigung einer gerade doch immer gleich ist?!) Hmm, selbst wenn das jetzt richtig ist, ich weiß leider nicht , wie ich daraus eine sinnvolle Aussage machen kann. Zur meiner Verteidigung muss ich sagen, dass wir noch keine derartige Rekonstruktion gerechnet haben*g* |
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| 24.05.2010, 15:55 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, stimmt die Geradengleichung g(x)=1/2 (4x+x) eigentlich? Überprüfe das bitte noch einmal. Sie könnte eigentlich viel kürzer g(x) = 2,5x geschrieben werden... 
Deine Rechnung zur Steigung der Orthogonalen stimmt nicht ganz, aber schauen wir erst noch mal nach der Geradengleichung. |
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| 24.05.2010, 15:59 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Seufz* stimmt nicht? Wenn ich doch nicht immer so verwirrt in Mathe wäre
Und ja, die Gleichung stimmt... Bis auf ein kleines Detail!!! sie lautet g(x)=1/2(4x³+x)! |
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| 24.05.2010, 16:03 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Von wegen Gerade....
Weißt du jetzt, was du mit g(x) berechnen musst? Sollte eigentlich klar sein.
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| 24.05.2010, 16:14 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, die Berührungspunkte haben wir. (0/0) und bei x=1 ist auch einer. Das einziige was mir spontan einfällt , ist, dass wir die Gleichungen gleichsetzen, was aber auch wieder Schwachsinn ist, weil wir die Berührungspunkte schon haben!! Puhh, ich muss mal eine rauchen und darüber nachdenken...
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| 24.05.2010, 16:19 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Rauchen vernebelt das Hirn... 
Bei x = 1 ist ein Schnittpunkt, also haben dort beide Funktionen die gleichen Koordinaten. Die eine Funktion kennst du, also kannst du die fehldende Koordinate ausrechnen. Auf diese Weise kannst du deine dritte Bedingung aufschreiben. Und wenn sie im Ursprung senkrecht aufeinander stehen, dann solltest du dich mal um die Steigungen kümmern, sprich um die Ableitungen... Und: Beim Antworten bitte auf "antworten" drücken, nicht auf "zitieren", sonst schreibst du jedesmal noch mal alles auf, was ich gerade aufgeschrieben habe. Das macht man nur, wenn man was Bestimmes zitieren will.
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| 24.05.2010, 16:28 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, also mal langsam. Die mir bekannte Funktion lautet: g(x)=1/2 (4x³+x) g(1)= 0,5*(4*1³+1) g(1)=2,5 Wäre dann die dritte Bedingung wie folgt richtig? f(1)=2,5 |
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| 24.05.2010, 16:33 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig.
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| 24.05.2010, 16:36 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay. Ich ziehe die Aufgabe nochmal von vorne auf und stelle sie hier rein. Ich hoffe ich bekomme es direkt hin! Danke schonmal für deine Geduld 
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| 24.05.2010, 16:51 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: Wir suchen ax³+bx²+cx+d Wir haben einen Wendepunkt bei (0/0) Einen Berührungspunkt bei (1/2,5) Zur Wendestelle: f(0)=0 f''(0)=0 Zum Berührungspunkt: f(1)=2,5 b und d müssen jetzt raus, da Punktsymmetrisch. d Fällt auch weg, da Punktsymmetrisch im Ursprung. Gesuchte Variablen a,c. Jetzt muss ich kurz abbrechen. Woher weiß ich eigentlich, welche Aussage ich welcher variablen zuteilen kann? Bis jetzt hat sich in meinen Übungen nie die frage gestellt, doch jetzt habe ich die Qual der Wahl und bin unsicher. Bevor ich weiter rechne , hätte ich das gerne geklärt. Weiß wer Rat?
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| 24.05.2010, 17:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kannst du nicht so allgemein sagen, welche Bedingung du welcher Variablen zurodnest. Im vorliegenden Fall hast du aber f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung mit einem WP im Ursprung, somit: f(0) = 0 und f ''(0) = 0 Und weil du weißt: f (x) = ax³ + bx² + cx + d f '(x) = 3ax² + 2bx + c f ''(x) = 6ax + b ... erhältst somit d = 0 und b = 0. Man kann allgemein sagen: "Der Graph zu f ist punktsymmetrisch zum Ursprung" bedeutet: Die Funktionsgleichung von f enthält nur Potenzen mit ungeraden Exponenten. und "Der Graph zu f ist symmetrisch zur y-Achse" bedeutet: Die Funktionsgleichung von f enthält nur Potenzen mit geraden Exponenten.
PS: Bin mal eine Runde Gassi. |
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| 24.05.2010, 17:29 | Mukuhlar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau! Das habe ich auch verstanden!! Mir geht es aber jetzt um a und c. Welche Aussage muss ich ihnen zuordnen? Oder ist es letztenendes sogar egal? Wenn ich das noch verstanden habe, dann kann ich glaube ich fast alle relevanten Aufgaben, die wir für die baldige Klausur benötigen! |
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| 24.05.2010, 17:43 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du ordnest nichts zu. Du brauchst 2 Gleichungen für 2 Variablen. Es ist wie bei den linearen Gleichungssystemen mit mehreren Variablen. Da sind die einzelnen Gleichungen (in der Regel) auch nicht einzelnen Variablen zugeordnet. Viemehr formt man um, verändert, setzt ein, eliminiert usw., bis man alle Variablen errechnet hat.
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