Orthogonalität von Geraden und Ebenen

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dorsch Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität von Geraden und Ebenen
Hallo Leute. Ich hänge hier an einer Aufgabe und habe wirklich keinen Schimmer, was ich wie machen muss. Wäre dankbar für Hilfe!

"In einer Ecke zwischen Haus und Garage muss das Fallrohr der Regenrinne im Erdreich erneuert werden. Dazu wird eine Grube ausgehoben und eine rechteckige Spanplatte als Wetterschutz darüber gestellt (Fig.1 -> Anhang).
Zur Stabilisierung soll im Diagonalenschnittpunkt M des Rechtecks der Spanplatte eine zur Platte orthogonale Stütze montiert werden. Wo ist ihr anderes Ende am Haus zu befestigen?
Anleitung: Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g durch M auf, für die gilt:
g ist orthogonal zur Ebene durch die Punkte A, B, C und D.

Wie gesagt ich habe keinen blassen Schimmer, was ich zu tun habe.

Danke im Voraus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Den Mittelpunkt M zu bestimmen, dürfte dir aber nicht schwer fallen, dies ist dir schon zuzutrauen Wink

Von der Ebene kannst du nacht Lust und Laune jede Menge Richtungsvektoren bestimmen, es genügen jedoch zwei.

Den auf der Ebene senkrecht stehenden Normalvektor zu ermitteln, stellt einen gewissen Anspruch dar. Hast du dazu irgendeine Idee? Sagt dir der Begriff "vektorielles Produkt" etwas?

Fang doch einfach mal mit der Aufgabe an, wir werden dir dann schon auf die Sprünge helfen ...

Gr
mYthos
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos!

Erstmal danke für die schnelle Aufmunterung Freude

Also der Diagonalenschnittpunkt müsste ja

M= (a+c) / 2 sein. Also. M (80/80/80)

Das stimmt hoffentlich. Okay nun weiß ich nicht wie ich die Ebene durch die Punkte A, B, C und D aufstelle.

danke im Voraus
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Mittelpunkt stimmt Freude

Du brauchst hier eigentlich gar nicht die ganze Ebenengleichung.
Es genügt schon wenn du dir z.B. durch den Einsatz des Kreuzprodukts einen Normalenvektor dieser Ebene konstruierst - also einen Vektor, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene steht.

Kriegst du das hin ?

Gruß Björn
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

hey Bjoern1982! Danke. Kreuzvektoren hatten wir eigentlich noch nicht behandelt aber durch n bisschen googeln. bin ich zum Ergebnis gekommen:...

...


neee des is wohl falsch, oder??

danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann wirklich nicht stimmen. Welche beiden Vektoren hast du genommen?
Bedenke auch, dass du die Richtungsvektoren beliebig kürzen kannst (alle Komponenten mit/durch die gleiche Zahl mult./dividieren)

mY+
 
 
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

oh okay ich hatte was verwechselt. Nochmal:



okay..also nochmal
...

okay.der Kreuzvektor ist also (0/0/0) . Kann das stimmen?

danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst NICHT zwei gleiche Vektoren nehmen, denn dann ist deren Vektorprodukt tatsächlich der Nullvektor und davon hast du nichts.

Also zwei verschiedene und auch nicht vergessen, abzukürzen, dann wird die Rechnung einfacher! Statt (100;100;160) kannst du z.B. (5;5;8) nehmen.

mY+
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke und sorry für die Mühe Gott Check halt auch wirklich nix Hammer

Also. nochmal:

Diesmal 2 verschiedene Vektoren: [gleich gekürzt]




wenn ich jetzt den Kreuzvektor mit diesen beiden Vektoren verwende, dann komm ich auf

...

das würd doch hoffentlich dieses Mal stimmen ? verwirrt

danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das stimmt!

DC hättest du noch auf (1;-1;0) vereinfachen können (bei -0 ist das Vorzeichen nicht notwendig). Weil es bei dem Ergebnis nur auf die Richtung des Normalvektors ankommt, kann dieser auch noch zu (4;4;-5) abgekürzt und mit diesem weitergerechnet werden.

mY+
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke schön! Muss ich als nächstes eine Gerade mit dem Normalenvektor (4/4/-5) durch den Diagonalenschnittpunkt M ermitteln? Oder ist davor noch etwas anderes zu beachten?

Danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt kann bereits die Gerade aufgestellt werden! Überlege dir dann auch, was in der Folge mit dieser Geraden weiter geschehen soll.

mY+
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

also.

Die Ebene durch den Punkt M (80/80/80) hat den Normalenvektor n = (4/4/-5)

Ebenengleichung in Normalenform:



Nun nach zB x3 auflösen:



die anderen ergänzen:







nun zur Bestimmung der Geraden....



und



ausrechnen...




..



z.B. für n1 = 1 einsetzen

-> n3 = -1,25

also..müsste die Gerade g die gleichung:

x= (80/80/80) + t * (1/1/-1,25)


oh mann...kann jemand sagen, ob es richtig ist, oder doch alles murks...DANKE
Spiggie Auf diesen Beitrag antworten »

also, ohne deinen letzten post gelesen zu haben, kann ich eigentlich nur sagen, dass deine geradengleichung richtig ist.

allerdings hättest du da auch sehr viel schneller drauf kommen können, nämlich so:

Du weißt, dass die Gerade durch den Punkt geht, also hast du schon mal

Der Richtungsvektor der Geraden ist ja der gleiche wie der Normalenvektor der Ebene, somit hast du ganz einfach die Geradengleichung:



Und was musst du jetzt damit machen?
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

so jetzt muss ich ja noch dafür sorgen, dass die >Gerade g orthogonal zur Ebene durch die A, B, C und D ist. Leider ist da mein Problem. Ich weiß nichts mit "Ebene" anzufangen, da ja keine gegeben ist. Oder muss ich da einfach eine EBenenform ala E: nehmen. Vor allem verwirrt mich dass mit der Ebene, die durch 4 Punkte geht... danke im Voraus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon gesagt, hier in diesem Fall brauchst du die Gleichung der Ebene nicht, denn du hast ja bereits ihren Normalvektor. Dieser ist der Richtungsvektor deiner interessierenden Geraden durch M.

Hast du eigentlich die Antwort von Spiggie überlesen/ignoriert/nicht verstanden?

Es sieht nämlich ganz so aus, dass du dir von unsere Antworten sehr wenig zu eigen machen kannst.

Auf dieser Geraden (die schon feststeht) musst du nun einen ganz bestimmten Punkt suchen. Welche Eigenschaften muss dieser haben? (Schaue dir in dieser Hinsicht nochmals deine Skizze an).

mY+
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

hey sorry,

aber manchmal werde ich aus euren Antworten wirklich nicht schlau verwirrt
Ähm also ich muss doch jetzt die Geradengleichung g mit der Ebene E gleichsetzen, da G = e gilt, oder nicht?

also
=

stimmt der Ansatz?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit welcher (speziellen) Ebene hast du das gleichgesetzt?

Dein Ansatz stimmt, jedoch mit Vorbehalt - denn du solltest dabei wissen, weshalb so und was genau da passiert. Kannst du das bitte motivieren?

Du kannst auch sehen (deswegen: Zeichnung ansehen), dass der gesuchte Punkt auf der x_3-Achse zu liegen kommt. Welche Eigenschaften haben alle Punkte auf der x_3 - Achse?

mY+
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

hallo! ich bin davon ausgegangen, dass x_2 = 0 ist, weil mir das Gebäude auf der x1 und x3 Ebene zu stehen scheint.

nur leider weiß ich nach

=

nicht mehr weiter und verstehe auch nicht, was du mit "was haben alle Punkte auf der x3 Ebene gemeinsam" meinst?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

OK, x_2 = 0, das ist nicht falsch, was folgt daraus für t? Was passiert, wenn du dann diesen t-Wert in die erste und letzte Zeile einsetzt?

Aus Symmetriegründen ist ersichtlich, dass der gesuchte Punkt nicht nur in der x1-x3 Ebene zu suchen ist, sondern er liegt sogar auf der x3 - Achse.

Übrigens: Warum sagst du immer x_3 - Ebene, wenn die x_3 - ACHSE gemeint ist?

mY+
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

ok aus folgt: , woraus wiederum folgt, dass ist. --> dann.

okay so weit müsste es jetzt stimmen.

nur fällt mir es jetzt schwer, weiterzurechnen. Muss ich jetzt das t = -20
in einsetzen? Irgendwie kann das ja nicht sein, da ich ja eine Geradengleichung brauche...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das t wieder in die Geradengleichung einsetzt, erhältst du ja den gesuchten Punkt! Du bist an sich schon fertig!

Es war doch gefragt, WO die Gerade (die Abstützung) an die Hauswand trifft. Das sind die 180 Längeneinheiten in der Ecke vom Boden aus gemessen.

mY+
dorsch Auf diesen Beitrag antworten »

hey mYthos und die anderen! Vielen Dank für die ganze Mühe, die ich euch bereitet habe. Weiß ja selber, dass es ne schwere Geburt war, aber jetzt hab ichs verstanden. Danke Gott Gott Gott
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