messbarer Raum

24.05.2010, 16:57

tohuwabou

messbarer Raum

Hallo,

ich mach mir gerade Gedanken zu messbaren und Wahrscheinlichkeitsräumen. Ein Raum ist im Grunde doch eine Menge, die gewisse Eigenschaften erfüllt. Ein Abbildung ist messbar, wenn sie von einem messbaren Raum in den anderen abbildet. Also angenommen ich habe eine messbare Abbildung $\begin{eqnarray*} T: (\Omega ,\mathcal A) \rightarrow (\Omega' , \mathcal A' ) \end{eqnarray*}$ . Welche Mengen werden denn da jetzt eigentlich abgebildet bzw. welche Mengen befinden sich denn jetzt eigentlich in den Messräumen? Sind das die Mengen aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die die Eigenschaften der $\begin{eqnarray*} \sigma-Algebra \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ erfüllen?

Dankeeeee
mfg tohuwabou

24.05.2010, 17:10

Mazze

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Zitat:

Ein Abbildung ist messbar, wenn sie von einem messbaren Raum in den anderen abbildet.

Das ist falsch. Eine Abbildung f ist messbar, wenn die Urbilder messbarer Mengen unter f messbar sind. Das ist ein himmelweiter Unterschied. Die Argumente der Funktion liegen in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und die Bildwerte in $\begin{eqnarray*} \Omega' \end{eqnarray*}$ . Eine messbare Funktion ist eine Funktion vom Typ

$\begin{eqnarray*} f : \Omega \to \Omega' \end{eqnarray*}$

sollte eigentlich in der Definition von euch stehen.

24.05.2010, 17:11

A.B.C.

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$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} - \mathcal{A}' \end{eqnarray*}$ -messbar, wenn jedes Element $\begin{eqnarray*} \alpha' \in \mathcal{A}' \end{eqnarray*}$ ein Urbild $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ besitzt. Falls $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}' = \sigma(S') \end{eqnarray*}$ - also $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}' \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S' \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, genügt es insbesondere, die Messbarkeit für alle Teilmengen $\begin{eqnarray*} s' \in S' \end{eqnarray*}$ nachzuweisen.

24.05.2010, 18:20

tohuwabou

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wieso schreibt man denn dann nicht $\begin{eqnarray*} T:\Omega \rightarrow \Omega' \end{eqnarray*}$ , sondern halt $\begin{eqnarray*} T: (\Omega ,\mathcal A) \rightarrow (\Omega' , \mathcal A' ) \end{eqnarray*}$ . Wo liegt da jetzt genau der Unterschied?

24.05.2010, 18:35

tohuwabou

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Zitat:

Ein Abbildung ist messbar, wenn sie von einem messbaren Raum in den anderen abbildet. Das ist falsch. Eine Abbildung f ist messbar, wenn die Urbilder messbarer Mengen unter f messbar sind.

Dazu hab ich auch noch eine Frage : Wenn eine Abbildung von einem messbaren Raum in einen weiteren messbaren Raum abbildet, ist das doch erfüllt , hätte ich jetzt gedacht.

24.05.2010, 19:06

tohuwabou

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Zitat:

Ok das hat sich geklärt, war einfach blöd aufgeschrieben smile

Dann ist eigentlich nur noch die 2te Frage offen.

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messbarer Raum

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