Untervektorräume [War: Thomas]

24.05.2010, 18:07

Raum der Polynome

Untervektorräume [War: Thomas]

Edit (mY+): Was soll eigentlich der Titel "Thomas" bedeuten?? Dieser ist unzutreffend und wurde geändert!

Ich habe folgende Aufgabe auf einem Übungsblatt:

Für n >= 1 sei Pn Teilmenge Abb(R;R) der Raum der Polynome vom Grad <=n. Betrachten Sie die folgenden Teilmengen von Pn:

U:={f€Pn: f(-x)=f(x) für alle x€R}
V:={f€Pn: f(-x)= - f(x) für alle x€R}

a) zeigen sie, dass U und V Untervektorräume von Pn sind
b)bestimmen sie dim(U) und dim(V) (mit beweis)
c)zeigen sie U°V= Pn (° ist bei mir auf dem Arbeitsblatt ein durchkreuter Kreis, entweder es ist ein bestimmtes zeichen, was ich noch nicht kenne oder einfach nur ein Platzhalter)

---
a )
also meine überlegung ist ja erst mal, dass U alle achsensymmetrischen(ungerade) Polynomfunktionen sind und V alle punktsymmetrischen(gerade) Polynomfunktionen.

kann ich dann einfach die allgemeine Form für ein gerade bzw. ungerade Polynomfunktion nehmen und anhand dieser die 3 Bedingungen für Untervektorraum durchgehen?

25.05.2010, 04:05

akechi90

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Die a) kannst du allgemeiner beweisen: Zeige, dass die Summe zweier achsen- bzw. punktsymmetrischer Funktionen wieder achsen- bzw. punktsymmetrisch ist, wie auch jedes entsprechende skalare Vielfache. Überdies sind die Summen bzw. skalaren Vielfachen wieder Polynome.

b) Für die Dimensionen kannst du anhand der "Standardform" für gerade bzw. ungerade Funktionen schnell Basen der jeweiligen Unterräume angeben.

c) Das soll eine direkte Summe sein, d.h. $\begin{eqnarray*} U \cap V = (0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U + V = P_n \end{eqnarray*}$ (d.h. jedes Polynom maximal n-ten Grades ist als Summe eines geraden und eines ungeraden Polynoms mit Graden $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ darstellbar).
Ggf. kannst du mit einem Dimensionsargument arbeiten, es funktioniert allerdings allgemeiner.

Gruß,
Carsten

P.S.: Thomas ist doch kein schlechter Name, ich fand den Titel originell Big Laugh

25.05.2010, 21:14

thomas22

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Hallo. Kann ich denn bei 1. so zeigen:
Ich zeige das erst für U, da es alle ungeraden Polynome enthält.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2n+1}^n ai*x^{i} + \sum\limits_{k=2n+1}^n bi*x^{i} = \sum\limits_{k=2n+1}^n ai*bi*x^{i} \end{eqnarray*}$

Also kann ich das so in der Art machen oder geht das in die falsche Richtung?

25.05.2010, 21:16

thomas22

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unter dem summenzeichen soll immer i= 2n+1 stehen

25.05.2010, 23:14

Reksilat

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Du meinst das hier: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2n+1}^n a_i*x^{i} + \sum\limits_{i=2n+1}^n b_i*x^{i} = \sum\limits_{k=2n+1}^n (a_i+b_i)*x^{i} \end{eqnarray*}$ ?
EDIT: Diese Form ist natürlich blanker Unsinn! Sorry!

Wenn Du gezeigt hast, dass U genau aus solchen Polynomen besteht und hier nun zeigen wolltest, dass U unter der Addition abgeschlossen ist, dann bist Du auf dem richtigen Weg. Freude

Gruß,
Reksilat.

26.05.2010, 21:31

thomas22

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ja, dasswollte ich tun.
muss ich denn zeigen, dass U nur diese Polynome mit ungeradem Exponenten enthält?
Kann ich denn das nicht einfach annehmen?

Und das U und V nicht leer sind, kann ich sagen, dass das Nullpolynom enthalten ist, was sowohl für die achsensymmetrie als auch für die punktsymmetrie gilt?

27.05.2010, 09:33

Reksilat

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Spätestens für b) musst Du ja eine Basis angeben. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:

i) Du zeigst a) etwas allgemeiner, also ohne genau darauf einzugehen, wie die Elemente jetzt explizit aussehen. Einfach nur aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(-x)=f(x) \end{eqnarray*}$ kann man nämlich auch zeigen, dass die Menge unter Add. und Skal.mult. abgeschlossen ist.
Für b) und c) benötigt man nämlich nur, dass die Polynome in der von Dir angegebenen Form eine Teilmenge von U bzw. V sind. Dann zeigt man noch, dass $\begin{eqnarray*} U+V=P_n \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} U\cap V=\{0\} \end{eqnarray*}$ und erledigt das mit der Dimension mit ein paar Zitaten.

ii) Du beweist, dass $\begin{eqnarray*} U=\left\{\sum_{i=0}^na_ix^i|a_i=0\text{ für i ungerade}\right\} \end{eqnarray*}$ ist. So sehen die Elemente aus U nämlich aus. Die Form in meinem letzten Beitrag war völliger Blödsinn.
Hammer

Das ist aber nicht unbedingt der eleganteste Weg.

Und $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$ ist der beste Weg, um $\begin{eqnarray*} U\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

27.05.2010, 15:16

thomas22

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ok, dann nochmal von vorn.

Bei a) für U:

Ich kann ja sagen, dass bei f(-x)=f(x) die Null enthalten ist.
Aber wie zeig ich jetzt allgemeiner die Abgeschlossenheit?
Da komm ich nicht mit....

bei b)
Die Basen von U sind ja die ungeraden Monome und die Basen von V sind ja die ungeraden Monome.
Ja...und daher sind U,V n-dimensional?

c) U geschnitten V ist ja nur die 0, weil sie sonst keine gemeinsamen Elemente haben.
Und zusammen ist es ja der gesamte Vektorraum der Polynome.

27.05.2010, 15:31

Reksilat

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Zitat:

Bei a) für U:
Ich kann ja sagen, dass bei f(-x)=f(x) die Null enthalten ist.
Aber wie zeig ich jetzt allgemeiner die Abgeschlossenheit?
Da komm ich nicht mit....

Man nimmt sich zwei Funktionen, die diese Eigenschaft haben und zeigt, dass dann auch die Summe diese Eigenschaft hat. Ebenso: skalares Vielfaches.

Zitat:

bei b)
Die Basen von U sind ja die ungeraden Monome und die Basen von V sind ja die ungeraden Monome.
Ja...und daher sind U,V n-dimensional?

Wieso verwendest Du den Plural? Es geht um eine Basis von U und eine Basis von V. Diese bestehen aus den genannten Elementen.
Die Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis. Statt zu raten, solltest Du lieber mal zählen. Nimm zur Not ein Beispiel wie n=8.

Zitat:

c) U geschnitten V ist ja nur die 0, weil sie sonst keine gemeinsamen Elemente haben.
Und zusammen ist es ja der gesamte Vektorraum der Polynome.

Hä? Du wiederholst die Behauptung. Das ist keine Begründung.
1. Nimm Dir ein $\begin{eqnarray*} f\in U\cap V \end{eqnarray*}$ und zeige, dass es die Null sein muss.
2. Nimm Dir ein beliebiges $\begin{eqnarray*} f\in P_n \end{eqnarray*}$ und zeige, dass man es als Linearkombination von Elementen aus U und V bilden kann.

27.05.2010, 15:45

thomas22

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soll ich mir bei a) irgendwelche funktionen wie f(x)=(x^3+x) ausdenken?
warum kann ich das nicht so wie ich am anfang gepostet habe stehen lassen?

b)Okay, ich meine den Singular.
Die Dimension bei n=8 ist ja bei U 4 und bei V 4 oder ?
Und dann ist die Dimension bei n element N n/2?

wie beweise ich das aber?

27.05.2010, 16:16

Reksilat

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a) Du sollst Dir natürlich nicht einfach irgendwelche Beispiele ausdenken. Nimm f und g mit der jeweils geforderten Eigenschaft und zeige, dass daraus folgt, dass auch f+g diese Eigenschaft hat.

zu b)+c): Du kannst in U und V immer n/2 linear unabhängige Elemente finden (bzw. (n+1)/2 und (n-1)/2 wenn n ungerade ist). Damit hast Du dann auch eine untere Schranke für die Dimension beider Mengen. Um zu zeigen, dass dies auch eine obere Schranke ist, musst Du entweder zeigen, dass diese Elemente dann auch schon U bzw. V erzeugen (dafür musst Du eben zeigen, welche Elemente genau in U bzw. V liegen) oder Du zeigst einfach noch c) und verwendest, dass $\begin{eqnarray*} \dim (U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V) \end{eqnarray*}$ ist.

Gib doch am besten mal an, was Du für die Basen von U und von V hältst.

27.05.2010, 17:19

thomas22

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a) Ich habe f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x)
Daraus folgt, dass (f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)

So in etwa?

b) Jedes gerade Monom ist eine Basis von U. Und jedes ungerade von V.

Das Problem ist, dass wir heute erst mit Dimension begonnen haben und das nur ganz wenig.
Kannst du das etwas langsamer erklären?

27.05.2010, 17:30

Reksilat

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Zitat:

Original von thomas22
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)
...

Das sieht gut aus!
Freude

Zitat:

b) Jedes gerade Monom ist eine Basis von U. Und jedes ungerade von V.

Das ist quatsch!
Eine Basis von U ist eine Menge und besteht aus den geraden Monomen. Also $\begin{eqnarray*} B=\{1,x^2,x^4,...,x^n\} \end{eqnarray*}$ ist einen Basis von U, falls n gerade ist.

Genaugenommen sieht man ja erst mal nur, dass diese ganzen Monome linear unabhängig sind und dass sie in U liegen. Eine Basis ist aber eine maximal linear unabhängige Menge und insofern ist die Anzahl der Elemente einer Basis schon mal mindestens so groß, wie die Anzahl der Elemente von unserem $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ oben. (Für gerades $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} n/2+1 \end{eqnarray*}$ )

Dann macht man das gleiche mit V.

Zum weiteren Vorgehen: Hattet Ihr die den oben erwähnten Dimensionssatz schon?

27.05.2010, 21:39

thomas22

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achso, danke schon mal dafür.

nein leider hatten wir den satz noch nicht.
wie gesagt, wir haben dimension ganz kurz eingeführt.

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