Bruchungleichung lösen

24.05.2010, 20:14

Cheftheoretiker

RE: Bruchgleichungen lösen

Hallo,

ich habe ein kleines Verständnisproblem.

$\begin{eqnarray*} 7+\frac{2}{z}<11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7+\frac{2}{z}<11 |-7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 |*z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2<4z |:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5<z \end{eqnarray*}$

Folgendes muss allerdings rauskommen.

$\begin{eqnarray*} L=\{z<0\}\cup\{z>0,5\} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht so ganz wieso die null noch mitdefiniert wird? verwirrt

24.05.2010, 20:34

wisili

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RE: Bruchgleichungen lösen
Es fehlt die Behandlung des Falles z<0:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 |*z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2>4z |:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5>z \end{eqnarray*}$

Das heisst, dass alle z mit z<0 auch Lösungen sind.

24.05.2010, 21:06

Cheftheoretiker

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RE: Bruchgleichungen lösen
Ist das ist nur wenn im Nenner eine Variable steht?
und wieso 0? verwirrt

24.05.2010, 21:18

wisili

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RE: Bruchgleichungen lösen
Wegen des Nenners willst du mit z multiplizieren.
Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dann muss das Ungleichheitszeichen gespiegelt werden.
Der Nenner ist also der Anlass, aber die Fallunterscheidung entsteht erst mit der Multiplikation.

24.05.2010, 21:31

Cheftheoretiker

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RE: Bruchgleichungen lösen
Hm, verstehe ich irgendwie nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x}-\frac{4}{x}<5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3-4<5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1<5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,2<x \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x}-\frac{4}{x}<5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3-4>5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1>5x \end{eqnarray*}$

So muss ich es umdrehen?
allerdings kommt doch das selbe Ergebnis raus und nicht 0 verwirrt

24.05.2010, 23:02

wisili

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RE: Bruchgleichungen lösen
Kennzeichne und umschreibe die beiden Fälle und ziehe dann den Schluss
für die Lösungsmenge L.

(Was meinst du mit «allerdings kommt doch das selbe Ergebnis raus und nicht 0»?)

25.05.2010, 13:08

Cheftheoretiker

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RE: Bruchgleichungen lösen
Ja, wenn man doch die -1:5x dievidiert,

kommt bei beiden Lösungsmengen -0,2 raus.
Ich verstehe nicht so ganz woher die 0 kommt verwirrt

25.05.2010, 13:44

wisili

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RE: Bruchgleichungen lösen
Du machst nicht, was man dir rät:
«Kennzeichne und umschreibe die beiden Fälle und ziehe dann den Schluss
für die Lösungsmenge L.»

Den ersten Fall muss man umschreiben mit x>0 (denn man spiegelt das Ungleichheitszeichen nicht)
und es kommt x > -0.2 heraus, zusammengefasst also $\begin{eqnarray*} x > 0 \wedge x > -0.2 \end{eqnarray*}$ ,
was äquivalent mit x > 0 ist.

Den zweiten Fall muss man umschreiben mit x<0 (denn man spiegelt das Ungleichheitszeichen)
und es kommt x < -0.2 heraus, zusammengefasst also $\begin{eqnarray*} x < 0 \wedge x < -0.2 \end{eqnarray*}$ ,
was äquivalent mit x < -0.2 ist.

25.05.2010, 16:57

Cheftheoretiker

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RE: Bruchgleichungen lösen
Ne, so verstehe ich es absolut nicht, trotzdem danke.

25.05.2010, 18:30

corvus

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RE: Bruchgleichungen lösen

Zitat:

Original von hangman
Ne, so verstehe ich es absolut nicht.

schade
es ist doch immer einfach so, dass eine Ungleichung
ihre Richtung ändert, wenn du beide Seiten mit einer
negativen Zahl multiplizierst ..
Beispiel:
es ist 5 > 2 .. und wenn du nun beide Seiten zB mit (-1) malnimmst,
dann wird daraus dann nicht -5 > -2 sondern -5 < -2

ok?
und wenn du nun statt mit (-1) mit einem Platzhalter z multiplizierst,
musst du immer "Fallunterscheidungen" machen , da du ja dem z nicht ansiehst,
ob dahinter eine positive Zahl oder eine negative Zahl "versteckt" ist.

also Beispiel:
es sei
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 \end{eqnarray*}$ ..
wenn du nun mal z rechnest gilt
1) falls z > 0 ist (also positiv) , dann bleibt die Richtung der Ungleichung und
du bekommst 2 < 4*z .. oder dann z > 0,5

2) falls aber z <0 (also negativ) dann bekommst du 2 > 4*z
und diese Ungleichung ist doch für alle negativen Zahlen z immer erfüllt ..
oder?

nebenbei:
dass ein Teil der Lösungsmenge von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 \end{eqnarray*}$ alle z<0 sein wird
siehst du doch trivialeweise schon daran, dass dann ja der Bruch auf der
linken Seite immer negativ ist und damit sicher kleiner als +4 ..

was meinst?
.

25.05.2010, 19:09

Cheftheoretiker

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RE: Bruchgleichungen lösen

Zitat:

also Beispiel:
es sei
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 \end{eqnarray*}$ ..
wenn du nun mal z rechnest gilt
1) falls z > 0 ist (also positiv) , dann bleibt die Richtung der Ungleichung und
du bekommst 2 < 4*z .. oder dann z > 0,5

Wieso wird plötzlich aus 2<4z ein z>0,5 verwirrt

Zitat:

2) falls aber z <0 (also negativ) dann bekommst du 2 > 4*z
und diese Ungleichung ist doch für alle negativen Zahlen z immer erfüllt ..
oder?

Ähm bei dem Beispiel,

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 \end{eqnarray*}$

Wäre doch Fall 1 z<0

also 2>4z

und bei Fall 2?

Zitat:

dass ein Teil der Lösungsmenge von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 \end{eqnarray*}$ alle z<0 sein wird
siehst du doch trivialeweise schon daran, dass dann ja der Bruch auf der
linken Seite immer negativ ist und damit sicher kleiner als +4 ..

was meinst?
.

Ich denke einfach zu kompliziert verwirrt

26.05.2010, 13:08

Cheftheoretiker

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RE: Bruchgleichungen lösen
Also das mit dem 1 und 2 Fall habe ich verstanden.

Allerdings finde ich es etwas eigenartig wie die Lösung angegeben wird.

L={x<0}u{x>4}

Wieso wird hier zum Beispiel die 0 mit angegeben wenn doch die eigentliche Ergebnisse

x<4 und x>4 sind ?

verwirrt

Bzw. bei sollchen Bruchungleichungen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-4}>0 \end{eqnarray*}$

1 Fall

$\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

2 Fall

$\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-1<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$

wie wird denn nun hier die Lösungsmenge angegeben und nach welchen Prinzip? verwirrt

26.05.2010, 13:31

cutcha

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Ich versuche es mal.

Zunächst gilt sowieso, dass z ungleich 0 ist. Fall 1 lasse ich aus.

Fall 2: z<0

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 <=>2 > 4z <=> z < 0,5 \end{eqnarray*}$

Nun vergleichst du die Fallunterscheidung, sprich die Bedingung mit deinem Ergebnis. Das Ergebnis z<0,5 hast du zwar berechnet, aber laut Bedinung gilt dies nur für alle z<0. Also ist z<0 das Ergebnis.

26.05.2010, 16:01

cutcha

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Zu deinem neuen Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-4}>0 \end{eqnarray*}$

Du hast wieder 2 Fälle:

x-4>0 und x-4<0

das x-1 bleibt so wie es ist und Bedarf keiner Fallunterscheidung.

26.05.2010, 17:08

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von cutcha
Ich versuche es mal.

Zunächst gilt sowieso, dass z ungleich 0 ist. Fall 1 lasse ich aus.

Fall 2: z<0

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 <=>2 > 4z <=> z < 0,5 \end{eqnarray*}$

Nun vergleichst du die Fallunterscheidung, sprich die Bedingung mit deinem Ergebnis. Das Ergebnis z<0,5 hast du zwar berechnet, aber laut Bedinung gilt dies nur für alle z<0. Also ist z<0 das Ergebnis.

Also wird immer nur von der Teillösung z<0 die Lösung genommen?

sprich

$\begin{eqnarray*} L=\{z<0\}\cup\{z<0,5\} \end{eqnarray*}$

26.05.2010, 17:40

Cheftheoretiker

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Zitat:

Die Fallunterscheidungen vergleichen, könntest du mir das mal genauer erklären? verwirrt

26.05.2010, 19:14

cutcha

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Ich kann dir dieses Beispiel mal so vorrechnen, wie ich es mache.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{z}<4 \end{eqnarray*}$

Fall 1: z>0
(2/z)<4 <=> 2<4z <=> z > 0,5

Die Bedingung war, dass z>0 ist. Als Lösung hast du, z>0,5, und alle z die dies erfüllen, sind auch >0. Aber alle 0<z<0,5 erfüllen die Ungleichung nicht. Kannst ja mal einen Wert zwischen 0 und 0,5 einsetzen.

Also:
LL={z € IR | z>0,5}

Fall 2: z<0
(2/z)<4 <=> 2>4z <=> z < 0,5

Alle z müssen kleiner als 0 sein. Und nicht alle z<0,5 erfüllen das. Du hast bei der Ungleichung in diesem Falle das Vorzeichen geändert, weil du gesagt hast, z<0 (Beim Multiplizieren mit negativen Zahlen wechselt das Vorzeichen) . Also kann z.B. 0,4 garnicht Lösung sein, da sich das Vorzeichen ja ansonsten nicht verändert hätte.

Also:
LL={z € IR | z < 0 }

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