Mittelwerte Ungleichung

24.05.2010, 21:51	Gissmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwerte Ungleichung Hi ! Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter : Wenn nur 2 Werte x1, x2 > 0 gegeben sind, kann man elementar zeigen: xAr >= xGeo >= xHar Beweisen Sie die Ungleichungskette für diesen Fall. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll :-/ Danke für eure Hilfe
24.05.2010, 22:01	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lauten denn erst mal die Definitionen für das arithmetische, harmonische und geometrische Mittel? mY+
24.05.2010, 22:09	Gissmo	Auf diesen Beitrag antworten »
für k = 2 $\begin{eqnarray} x_ar = 1/n (x_1 + x_2) \end{eqnarray}$ Geometrische Mittel $\begin{eqnarray} x_Geo = \sqrt{x_1 * x_2} \end{eqnarray}$ Harmonische Mittel $\begin{eqnarray} x_Har = \frac{1}{1/n * (\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) } \end{eqnarray*}$
24.05.2010, 22:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
... doch noch für n = 2 weiter rechnen: $\begin{eqnarray} x_a = \frac{x_1 + x_2} 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_g = \sqrt{x_1 \cdot x_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_h = \frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2} \end{eqnarray}$ Stelle damit die Ungleichungskette auf und beweise erst den linken, dann den rechten Teil, das dürfte dann keine Probleme mehr bereiten. mY+
24.05.2010, 23:16	gissmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis : Da die logartithmusfunktion konvex ist, gilt die Jensen-Ungleichung : ln (1/2 * x1 + 1/2 * x2) >= ln 1/2 * x1 + ln 1/2 * x2 beide Seiten mit der Exponentialfunktion multiplizieren : 1/2 * x1 + 1/2 * x2 >= x1^1/2 * x2^1/2 daraus folgt xar >= xgeo ersetzt man nun xi durch 1/xi erhält man (1/x1 + 1/x2)1/2 >= $\begin{eqnarray} \sqrt{1/x_1 * 1/x_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x1+x2}{2x1 x2} \end{eqnarray}$ >= $\begin{eqnarray} \sqrt{1/x_1 1/x_2} \end{eqnarray}$ mit Kehrwertbildung, da beide >0 $\begin{eqnarray} \frac{2x1x2}{x1+x2} \end{eqnarray}$ <= $\begin{eqnarray} \sqrt{x_1 x_2} \end{eqnarray*}$ xgeo >= xhar somit folgt insgesamt : xar >= xgeo >= x har

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