Vereinigung offener Kerne

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24.05.2010, 22:46	Anna-Lisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung offener Kerne Hallo! Ich soll zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} A^\circ \cup B^\circ \subseteq (A \cup B)^\circ \end{eqnarray}$ , die "Rückrichtung", also $\begin{eqnarray} (A \cup B)^\circ \subseteq A^\circ \cup B^\circ \end{eqnarray}$ aber durch ein Gegenbeispiel widerlegen. Ersteres, also den formalen Beweis bekomme ich hin, aber das Gegenbeispiel bereitet mir Sorgen. Welche Mengen A und B kann ich zu sowas hernehmen? Können die auch aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sein, also ganz einfache Dinger wie $\begin{eqnarray} ]a,b] \end{eqnarray}$ . Wäre dann mit $\begin{eqnarray} C := \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ]a,b] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C^\circ = ]a,b[ \end{eqnarray}$ ? Das wäre doch eine offene Menge ohne Randpunkte? Bin mir da grad unschlüssig. Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich freuen. Danke! Herzlichst, Anna-Lisa
25.05.2010, 01:14	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung offener Kerne Hi. Ich musste zwar lange überlegen, aber so schwer ist ein Gegenbispiel dann doch nicht. Also du musst die Mengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ so konstruieren, dass du einen Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ findest, so dass gilt: 1. $\begin{eqnarray} x_0\in (A\cup B)° \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} x_0\not\in A°\cup B° \Leftrightarrow x_0\not\in A° \land x_0\not\in B° \end{eqnarray}$ . Du musst einen Punkt so finden, dass er entweder zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ oder zu $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ gehört, aber nicht im Inneren einer der beiden Mengen liegt. Folglich liegt er auf dem Rand einer der beiden Mengen. Vereinigt man aber $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , so muss der Punkt im Inneren der Vereinigung liegen. Also müssen die Ränder irgendwie zusammenfallen. So hab ich dann auf mein Gegenbeispiel gefolgert. Aber vielleicht kommst du ja nun selbst auf eins LG Max
26.05.2010, 14:22	Anna-Lisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Max Simon! Danke für deine Antwort und die ausführlich Erklärung. Und eingefallen ist mir auch gleich was (vielleicht kannst du oder jemand anderes ja mal schauen, ob das so stimmt). Sei also: $\begin{eqnarray} A := ]0,1], B := [1,2];<br /> (A \cup B)^\circ = ([0,2])^\circ = ]0,2[; \\ A^\circ \cup B^\circ = (]0,1[) \cup (]1,2[) = ]0,2[ \backslash \{1\} \end{eqnarray}$ woraus klar ersichtlich ist: wenn $\begin{eqnarray} x \in (A \cup B)^\circ = ]0,2[ \not \Rightarrow x \in A^\circ \cup B^\circ = ]0,2[ \backslash \{1\} \end{eqnarray}$ . Kann man das so gelten lassen? :-)
26.05.2010, 14:53	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist so korrekt. Du meintest aber bestimmt $\begin{eqnarray} A=[0,1] \end{eqnarray}$ . Sonst müsste $\begin{eqnarray} (A\cup B)°=(]0,2])°=]0,2[ \end{eqnarray}$ sein. LG Max
26.05.2010, 17:35	Anna-Lisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ja, das hab ich gemeint. Aber wäre das nicht egal? Oder gibt das ein Problem, weil A halboffen ist? Wenn $\begin{eqnarray} A ^\circ = ]0,1[ \end{eqnarray}$ , ist dann nicht $\begin{eqnarray} A := ]0,1] \end{eqnarray}$ ?
26.05.2010, 17:39	Anna-Lisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, sorry, da ist wohl was durcheinander gekommen; es sollte heißen: Wenn $\begin{eqnarray} A = ]0,1] \end{eqnarray}$ , ist dann nicht $\begin{eqnarray} A \circ = ]0,1[ \end{eqnarray}$ ?
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26.05.2010, 20:31	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das ist richtig. Aber dann wäre $\begin{eqnarray} A\cup B=]0,2]\neq [0,2] \end{eqnarray}$ . Du meinst schon immer das richtige, hast dich aber im Beitrag oben verschrieben. Lg Max
26.05.2010, 21:11	Anna-Lisa	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, okay, ja klar :-). Aber prinzipielle wäre es doch egal ob den inneren Kern einer halboffenen Menge oder den inneren Kern einer offenen Menge nehme, oder? Das wäre doch immer die Menge mit ausgeschlossenen Grenzen!?
26.05.2010, 21:33	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja kommt auf deinen Metrischen Raum an, aber in der Regel ist das egal.

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