ähnlichkeit matrizen,jordan

25.05.2010, 13:23	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
ähnlichkeit matrizen,jordan morgen also ich hätte da mal eine frage und zwar hab ich zwei quadratische matrizen A und B welche das selbe charakteristische polynom die selben eigenwerte , algebraische vielfachheit und geometrische vielfachheit haben ... nun soll ich beweisen oder widerlegen dass diese ähnlich zueinander sind .... nun gut im fall dass das charakteristische polynom zerfällt kann ich das einfach über jordan abhacken jedoch was ist denn falls das char. polynom nicht zerfällt wie könnte ich dann drangehen ?ich schätze mal dass in der aufgabenstellung schon gemeint ist dass das char polynom zerfällt mich würde jetzt jedoch interessieren was passiert falls dem nicht so ist danke schon jetzt für anregungen
25.05.2010, 13:51	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Am besten wäre es, wenn du die Matrizen auch angeben würdest. 2) Es gibt auch Definitionen der JNF, die für nicht-zerfallende charakteristische Polynome funktionieren. Alternativ kann man die Frobenius- oder Weierstraß-Normalform verwenden.
25.05.2010, 14:37	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also zu 1) ich hab jetzt einfdach ein gegenbeispiel gebracht also : für die matrizen A und B $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix} ...... B =\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ naja also diese beiden martizen haben das gleich char.Polynom , die gleichen eigenwerte nämlich 1 , algebraische sowie geometrische vielfachheit sti8mmt auch überein ... jedoch muss ja für äquivalente matrizen $\begin{eqnarray} A=S^{-1}BS \end{eqnarray}$ auch gelten dass $\begin{eqnarray} rang(A-tI)=rang(B-tI) \end{eqnarray}$ sowie auch $\begin{eqnarray} rang(A-tI)^k=rang(B-tI)^k \end{eqnarray}$ für bestimmte k ... setzt man k =2 und dann t=1 bekommt man verschiedene ergebnisse raus und somit sind sie nicht ähnlich 2) danke vielmals dass hab ich noch gar nicht gewusst danke danke für die hilfe
25.05.2010, 15:54	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, da habe ich dich wohl falsch verstanden. Ich war davon ausgegangen, dass du zwei vorgegebene Matrizen zu untersuche hättest. Falls dir das Minimalpolynom ein Begriff ist, kann auch der Vergleich der (nicht ähnlichen) Matrizen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&&&\\1&1&&\\&&1&\\&&1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&&&\\1&1&&\\&&1&\\&&&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ interessant sein.

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