Dimension berechnen für x Element von R

25.05.2010, 17:25

DoubleX87

Dimension berechnen für x Element von R

Meine Frage:
Hallo,

ich wende mich mit der folgenden Aufgabe an euch:

Für welche x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt
dim({(3-x,-1,0),(-1,2-x,-1),(0,-1,3-x)})=2

bitte gebt mir einen kleinen Denkanstoß...
Danke im voraus!

Meine Ideen:
Ich finde leider in meinen Unterlagen und im Internet nicht wirklich etwas was mich zu einem Lösungsansatz bringen könnte.

Ich nehme mal an, dass man eine Matrix bilden muss und dann damit weiter rechnet...

der erste Teil der Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 2-x & -1 \\ 0 & -1 & 3-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun weiß ich aber nicht wie ich weiter vorgehen soll.

ich habe nur ein Beispiel in meinen Unterlagen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x1 \\ ... \\ x5 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

und das dann halt aufgelöst.... aber das kann ich mit meinem ja schlecht machen... andere Beispiele habe ich keine und im Internet wie gesagt auch nichts passendes gefunden.
Ich weiß einfach nicht wie ich das ganze angehen soll.

Hat es vllt. damit zu tun, dass man die Matrix an den beiden Diagonalen spiegeln kann ohne, dass sich etwas verändert?

25.05.2010, 17:34

Cel

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RE: Dimension berechnen für x Element von R

Zitat:

Original von DoubleX87
Für welche x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt
dim({(3-x,-1,0),(-1,2-x,-1),(0,-1,3-x)})=2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 2-x & -1 \\ 0 & -1 & 3-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auf deutsch steht in der Aufgabe: Für welche x hat die Matrix Rang zwei? Wobei mich die Schreibweise etwas stört. Die Dimension dreier einzelner Vektoren? Ich denke eher, dass es um den Raum geht, den diese drei Vektoren erzeugen ...

25.05.2010, 19:01

havanabanana

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RE: Dimension berechnen für x Element von R

Zitat:

Original von DoubleX87
Meine Frage:
ich wende mich mit der folgenden Aufgabe an euch:

Ich nehme mal an, dass man eine Matrix bilden muss und dann damit weiter rechnet...

der erste Teil der Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-x & -1 & 0 \\ -1 & 2-x & -1 \\ 0 & -1 & 3-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun weiß ich aber nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Mein Lösungsansatz:
Ich gehe auch davon aus, dass der Vektorraum, der aus diesen 3 Vektoren gebildet werden kann, gemeint ist.

Die Dimension eines Vektorraumes ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren.
Findet man nun unter den Vektoren zwei die linear abhängig sind, so kann man einen dieser Vektoren streichen. Dies wiederholt man solange bis man nur noch linear unabhängige Vektoren hat und somit die Anzahl dieser Vektoren die Dimension des Vektorraumes darstellt.

Konkret:
Wir schauen ob der 2. Vektor ein Vielfaches vom 1. oder 3. sein kann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2-x & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
-> -1 = 0 -> kein Vielfaches, somit linear unabhängig zum 1. und 3. Vektor

Dann schauen wir uns mal den 1. und 3. Vektor an:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-x & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wir wissen außerdem aus der Aufgabenstellung, dass die Dimension = 2 sein soll und deshalb das x und y so gewählt werden muss, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind. (Vielfache)
Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} 3- x = 0 \Rightarrow x = 3<br /> -1 = -1 <br /> 0 = x - 3 \Rightarrow x = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ für x = 3 sind die Vektoren lin. abhängig, sodass einer gestrichen werden kann und nur noch zwei lin. unabh. übrig sind => dim = 2

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