Maße auf Sigma Algebren

25.05.2010, 17:28

oepfel

Maße auf Sigma Algebren

Meine Frage:
Habe mich gefragt, warum man Maße auf Sigmaalgebren definiert und was daran so super ist. Haben bald Prüfung in Maßtheorie und versuche den roten Faden der Vorlesungen zu verstehen.

Meine Ideen:
Zuert definiert man ja Maße auf einem Halbring, der sich zu einem Ring erweitern lässt und dann existieren die Fortsetzungen auf eine Sigma Algebra. (Caratheodory)

Aber meine Frage nun, warum das Ganze?
Kann mir irgendjemand den Sinn hinter dem Ganzen erklären?

Danke schonmal!

28.05.2010, 15:41

thorsten_s.

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Hallo.

Eigentlich macht man die ganze Maßtheorie nur, wegen folgender (zuerst mal nicht einleuchtender Tatsache):

Es gibt kein Maß $\begin{eqnarray*} \mu : \mathcal P (\mathbb R^n) \to [0,\infty ] \end{eqnarray*}$ , welches folgende drei "vernünftige" Bedingungen erfüllt:

Sind $\begin{eqnarray*} A, B \in \mathcal P (\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ disjunkt, d.h. $\begin{eqnarray*} A \cap B = \emptyset \end{eqnarray*}$ , so soll $\begin{eqnarray*} \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B) \end{eqnarray*}$ gelten
Sind $\begin{eqnarray*} A, B \in \mathcal P (\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ kongruent (z. B. man erhält $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch Drehung/Verschiebung), so soll $\begin{eqnarray*} \mu(A )=\mu(B) \end{eqnarray*}$ gelten
Normiertheit, d.h. $\begin{eqnarray*} \mu([0,1]^n )=1 \end{eqnarray*}$

Nur für $\begin{eqnarray*} n=1,\ n=2 \end{eqnarray*}$ gibt es so ein Maß, aber nicht wenn $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt.
[Der Beweis ist kompliziert!]

Gruß,
Thorsten

28.05.2010, 15:53

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Zitat:

Original von thorsten_s.
Nur für $\begin{eqnarray*} n=1,\ n=2 \end{eqnarray*}$ gibt es so ein Maß

Tatsächlich? Also ich weiß jetzt nicht, ob es für n=1,n=2 einen Inhalt mit diesen Eigenschaften gibt, aber ein Maß gewiss nicht. unglücklich

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