fragen zu funktion - Seite 2

26.05.2010, 14:18

Iorek

Wie habt ihr den Begriff der Differenzierbarkeit denn eingeführt, was für Aussagen hattet ihr darüber gemacht, welche Eigenschaften kennt ihr? Habt ihr Aussagen über die Differenzierbarkeit von Polynomfunktionen gemacht? Solange das nicht klar ist, kann man dir schlecht helfen, da man nicht weiß was ihr verwenden dürft.

26.05.2010, 18:28

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Wie habt ihr den Begriff der Differenzierbarkeit denn eingeführt, was für Aussagen hattet ihr darüber gemacht, welche Eigenschaften kennt ihr? Habt ihr Aussagen über die Differenzierbarkeit von Polynomfunktionen gemacht? Solange das nicht klar ist, kann man dir schlecht helfen, da man nicht weiß was ihr verwenden dürft.

Definition: Es sei f eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen. Falls für eine feste
Zahl $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich von f der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} \end{eqnarray*}$ existiert, so heißt er Differentialquotient oder erste Ableitung der Funktion f an der
Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$
er wird mit $\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{df(x)}{dx} \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

die funktion heißt dann in $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ differenzierbar.
mehr hab ich nich gefunden.

26.05.2010, 18:36

Iorek

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Das ist wirklich alles, was ihr dazu habt? Hattet ihr vllt. noch links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit? Darüber würde das schnell gehen.

26.05.2010, 18:47

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Das ist wirklich alles, was ihr dazu habt? Hattet ihr vllt. noch links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit? Darüber würde das schnell gehen.

ne,wir hatten nur das mit den links- bzw rechtsseitigen grenzwerten.

26.05.2010, 18:55

Iorek

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Ok, dann schauen wir uns erstmal die bisherige Ableitung an die wir haben:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\begin{cases} 2 & x<3 \\ ? & \end{cases} \end{eqnarray*}$ , wie sieht der andere Teil der Ableitung aus? Und welcher Punkt muss gesondert behandelt werden?

26.05.2010, 19:11

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Iorek
Ok, dann schauen wir uns erstmal die bisherige Ableitung an die wir haben:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\begin{cases} 2 & x<3 \\ ? & \end{cases} \end{eqnarray*}$ , wie sieht der andere Teil der Ableitung aus? Und welcher Punkt muss gesondert behandelt werden?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\begin{cases} 2 & x<3 \\ -2 &x>3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

26.05.2010, 19:17

Iorek

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So, welcher Punkt fehlt jetzt noch, muss also gesondert betrachtet werden? Und wie könnte man das machen?

26.05.2010, 19:23

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von analysisisthedevil

Zitat:

Original von Iorek
Der Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 3 \end{eqnarray*}$ stimmt, der andere nicht, rechne da nochmal nach.

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases} 10-2x & \text{falls }x\geq3\\4-2(-x+3)=4+2x-6= -2+2x & \text{falls }x<3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

meine güte,meine konzentration war auch schonmal besser

x=3 fehlt aber habe ich das nicht auch für x=3 definiert?siehe oben

26.05.2010, 19:27

Iorek

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Genau, x=3 fehlt noch, das ist also gerade die Stelle, die wir gesondert überprüfen müssen. Dazu kannst du verwenden, dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ diff'bar ist, genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h\uparrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\downarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ gilt.

26.05.2010, 19:37

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von analysisisthedevil

Zitat:

Original von analysisisthedevil

Zitat:

Original von Iorek
Der Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 3 \end{eqnarray*}$ stimmt, der andere nicht, rechne da nochmal nach.

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases} 10-2x & \text{falls }x\geq3\\4-2(-x+3)=4+2x-6= -2+2x & \text{falls }x<3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

meine güte,meine konzentration war auch schonmal besser

x=3 fehlt aber habe ich das nicht auch für x=3 definiert?siehe oben

ich hab doch aber x=3 am anfang auch definiert oder etwa nicht??

26.05.2010, 19:39

Iorek

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Ja, die Ausgangsfunktion ist bei x=3 definiert, also muss diese Stelle auch auf differenzierbarkeit überprüft werden.

26.05.2010, 19:45

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von analysisisthedevil

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Original von analysisisthedevil

Zitat:

Original von analysisisthedevil

Zitat:

Original von Iorek
Der Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 3 \end{eqnarray*}$ stimmt, der andere nicht, rechne da nochmal nach.

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases} 10-2x & \text{falls }x\geq3\\4-2(-x+3)=4+2x-6= -2+2x & \text{falls }x<3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

meine güte,meine konzentration war auch schonmal besser

ich hab doch aber x=3 am anfang auch definiert oder etwa nicht??

aber is nich f'(x)=2 für x=3 ich verstehe es nicht

26.05.2010, 19:57

Iorek

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Wir wissen noch überhaupt nichts über f'(3), das ist ja gerade der Punkt. Wir haben eine stückweise definierte Funktion, und haben mittlerweile festgestellt, dass diese Funktion im Anschlusspunkt (also bei x=3) stetig ist, jetzt überprüfen wir das auf diff'barkeit. Auch hier macht aber die stückweis definierte Funktion Probleme, und zwar müssen wir auch hier besonders auf die Anschlussstelle aufpassen. Wie du das machen kannst, steht 4 Beiträge weiter oben.

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