Kürzester Abstand zwischen dem Ursprung und der Funktion

25.05.2010, 18:31

magoroth

Kürzester Abstand zwischen dem Ursprung und der Funktion

Hey Leute,

Ich habe die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-3)²+2 \end{eqnarray*}$ und soll die minimale Entfernung zum Ursprung berechnen.
Ich weiß, dass man durch den Satz des Pythagoras auf die Differenzfunktion erarbeitet:
$\begin{eqnarray*} d(x)=\sqrt{(x-a)²+(f(x)-b)} \end{eqnarray*}$

Da ich den Abstand zum Urspring ausrechen soll, kann ich ja a und b weglassen, da für beides null eingesetzt wird.

Mit meiner Funktion sieht die d(x) dann wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} d(x)=\sqrt{(x)²+((x-3)²+2)²} \end{eqnarray*}$

NR: $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-3)²+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-3)(x-3)+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x²-6x+11 \end{eqnarray*}$

Dann sieht d(x) wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} d(x)=\sqrt{(x)²+(x²-6x+11)²} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir nun vllt. einen Tip geben wie ich fortfahren soll?
Ich habe mir überlegt, durch quadrieren die Wurzel zu eliminieren und zum Schluss die Wurzel aus dem Ergebnis zu ziehen damit das ursprüngliche Ergebnis rauskommt.

Danke schon mal im voraus smile

25.05.2010, 19:06

Omicron

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Wenn du in der Lage bist, eine gängige Extremwertbetrachtung zu machen, dann würde ich das an deiner aufgestellten Funktion ausprobieren. smile

25.05.2010, 19:16

magoroth

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gut wenn ich die wurzel per quadrierung eliminiere habe ich:

$\begin{eqnarray*} d(x)²=x^4-12x^3+59x^2-132x+121 \end{eqnarray*}$

Nun lautet meine Frage:
Soll ich erst ableiten und dann per polynomdivision bis x^2 runterrechnen, damit ich mit der pq-formel zu meiner lösung komme, oder soll ich erst per polynomdivision bis x^3 runterrechnen,dann ableiten und mit der pq-formel weitermachen?

25.05.2010, 19:18

Omicron

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Zitat:

Original von magoroth
gut wenn ich die wurzel per quadrierung eliminiere habe ich:

$\begin{eqnarray*} d(x)²=x^4-12x^3+59x^2-132x+121 \end{eqnarray*}$

Nun lautet meine Frage:
Soll ich erst ableiten und dann per polynomdivision bis x^2 runterrechnen, damit ich mit der pq-formel zu meiner lösung komme, oder soll ich erst per polynomdivision bis x^3 runterrechnen,dann ableiten und mit der pq-formel weitermachen?

Hast du meinen Beitrag gelesen? Deine Umformungen bringen zumindest erstmal nicht viel.

25.05.2010, 19:21

magoroth

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oh, dann bin ich ein wenig irritiert und weiß nicht, was du mir mit deiner fragestellung auf die funktion implizieren möchtest.

Dannst du vllt. ein wenig genauer werden, damit ich mir spezieller gedanken machen kann smile

25.05.2010, 21:21

Omicron

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Hattest du schon mal Ableitungen? Ansonsten bin ich bei der Lösung dieser Aufgabe selbst überfragt. Ups

25.05.2010, 21:37

magoroth

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ja klar hatte ich schonmal ableitungen, blos ich weiß nicht genau wie ich am einfachten rangehen sollte.
Für einen wurzelausdruck kann man ja auch (..) ^1/2 schreiben, und dass lässt sich ja ableiten, aber die ausdrücke in der wurzel wären dann nicht mehr so einfach zu verarbeiten, deshalb frage ich ja, ob es dort einen trick gibt bzw. einen kniff um das ganze zu vereinfachen

25.05.2010, 21:59

Mathewolf

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Du hast doch schon die Funktion d(x) aufgestellt, die dir dir den Abstand jedes Punktes auf dem Funktionsgrafen zu dem Koordinatenursprung liefert. Nun möchtest du den geringsten Abstand berechnen. Du suchst also nach dem Minimum deiner Abstandsfunktion d(x). So, wie findet man so ein Minimum? d'(x) bestimmen und die Gleichung 0=d'(x) lösen. Dann schauen, bei welchem der Lösungen ein Minimum liegt und schon hast du die Aufgabe gelöst.

26.05.2010, 17:52

magoroth

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das prinzip ist mir klar mathewolf, meine schwierigkeit liegt bei der funktion d(x) ich weiß nicht genau, wie ich diese funktion ableiten soll.
Soll ich alles quadireren, ausrechnen und zum schluss die wurzel aus dem ergebnis ziehen oder für die wurzel (..)^1/2 schreiben und dann per kettenregel ableiten.
Das sind die schwierigkeiten die ich habe.
Wenn du mir da eine starthilfe geben könntest, wäre das megacool Augenzwinkern

26.05.2010, 18:56

magoroth

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$\begin{eqnarray*} d(x)=\sqrt{(x)²+((x-3)²+2)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(x)=((x)²+((x-3)²+2)²)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (x^4-12x^3+59x^2-132x+121)^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(x)= h(g(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d(x) ={1}/{2}(x^4-12x^3+59x^2-132x+121)^{-1/2}*4x^3-36x^2+118x-132 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d'(x) =(x^4-12x^3+59x^2-132x+121)^{-1/2}*2x^3-18x^2+59x-66 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d'(x) =\frac{2x^3-18x^2+59x-66}{\sqrt{x^4-12x^3+59x^2-132x+121}} \end{eqnarray*}$

mein taschenrechner sagt mir auch, dass dies die richtige ableitung ist, aber nun das minimun auszurechnen ist mein problem,.. wie muss ich nun weitermachen?

26.05.2010, 19:08

Calvin

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Um mal ein bißchen mehr Klarheit reinzubringen.

Die Idee, $\begin{eqnarray*} d(x)^2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten ist gut. Durch den Wegfall der Wurzel vereinfacht sich die Ableitung. Die Stellen der Extrema bleiben die gleichen.

Letztendlich führt das auf die Gleiche Bedingung wie in deinem letzten Beitrag. Du hast also durchaus korrekt gerechnet.

Für die Nullstellenberechnung ist ein Näherungsverfahren notwendig, da Raten nicht möglich ist

Bin gerade am Überlegen, ob ein grundsätzlich anderer Ansatz evtl. besser wäre... verwirrt

EDIT
Richtige Funktion geplottet...

26.05.2010, 19:45

Alex-Peter

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RE: Kürzester Abstand zwischen dem Ursprung und der Funktion
Ich habe in den Nullpunkt (x=0; y=0) einen Kreis gelegt und den Berühtpunkt mit der Kurve berechnet. Als Resultat wird r = 3,361.

26.05.2010, 21:17

Calvin

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@Alex-Peter

ich habe diesen Ansatz nicht durchgerechnet. Aber der Punkt scheint mir nicht auf f(x) zu liegen.

(die Gerade g(x)=x habe ich zur Verdeutlichung eingezeichnet)

EDIT
Anhand der Skizze könnte es aber gut sein, dass du mit dem y-Wert richtig liegst.

EDIT2
Ich habe eben gemerkt, dass ich in meinem ersten Posting die falsche Funktion gezeichnet habe. In dieser Zeichnung stimmt der x-Wert des Minimums mit dem von Alex-Peter berechneten scheinbar überein. Warum der Plot in diesem Posting dann wieder ganz anders aussieht...

Trotzdem kommt man meiner Meinung nach bei der Rechnung nicht um ein Näherungsverfahren rum.

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