arcsin(x) integrieren?

25.05.2010, 19:05

orso7

arcsin(x) integrieren?

Zu Integrierenist:

$\begin{eqnarray*} \int \! \arcsin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

aber ich hab hier wirklich keinenlösungsansatz gefunden.... ein ergebnis gibts im Mathebuch aber nur das hinzuschreiben wirdnicht reichen

25.05.2010, 19:09

IfindU

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RE: arcsin(x) integrieren?
Bei so Funktionen bietet sich die partielle Integration mit 1*arcsin(x) an, da man die Ableitung des arcsin kennt und so im nächsten Schritt nur noch nen Bruch, x, und evtl. eine Wurzel stehen hat.

25.05.2010, 19:09

Omicron

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RE: arcsin(x) integrieren?
Du kannst versuchen den Term mittels partieller Integration in eine andere Form zu bringen. Dafür solltest du wissen, wie die Ableitung des Arkussinus aussieht.

26.05.2010, 12:03

orso7

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oke ich werds mal mit der partiellen versuchen, bissher hab ichs versucht mit der substitution

$\begin{eqnarray*} arcsinx = u \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich dann

$\begin{eqnarray*} \int u*\sqrt{1-x^{2} } \, du \end{eqnarray*}$

kann ich das jetzt direkt integrieren dann wäre es ja

$\begin{eqnarray*} \frac{ u^{2} *\sqrt{1-x^{2} }}{2} \end{eqnarray*}$

ich bezweifle jetztal das das richtig ist.

meine 2. idee war dann auch nochfür das x zu substituieren
$\begin{eqnarray*} \int u^ *\sqrt{1-\sin(u) ^{2} } \, du \end{eqnarray*}$

war das auch ein möglicher weg oder gehts nur mit der partiellen??

26.05.2010, 12:10

Mulder

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RE: arcsin(x) integrieren?
Da wird anfangs die Integralsubstitution völlig falsch angewendet. Nach dem Substituieren darf von der alten Variable (in diesem Fall x) nichts mehr übrig bleiben. Damit darfst du also nicht einfach so weiterrechnen.

Edit: Bei deinem zweiten Versuch kannst du tatsächlich so weiter machen. Verwende den trigonometrischen Pythagoras und integriere dann wieder partiell (ganz ohne geht's nicht).

Insgesamt ist es so aber etwas umständlicher, als wenn man gleich partiell rangeht.

26.05.2010, 14:31

orso7

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so ich habs jetzt mit der partiellen versucht

$\begin{eqnarray*} \int \arcsin(x) \, dx = x*\arcsin(x) - \int x*\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \end{eqnarray*}$

wenn ich da jetzt allerdings weiterrechne kommt mir entweder wieder die angabe raus oder ich rechne mich in den wald hinnein weil die ausdrücke immer komplizierter werden.... immer neue noch größere partielle integrationen

26.05.2010, 14:37

Mulder

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Das Integral, das verbleibt, ist doch nicht mehr schwer. Substituiere einfach den Ausdruck unter der Wurzel.

16.06.2010, 14:48

BUWE-Melanie

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Guten Tag zusammen:

Bis zur Substitution komm ich auch, aber dann bleib ich irgendwie hängen?!
Mein Frage: Wieso muss ich denn das Integral substituieren ? verwirrt

Könnte ich nicht sagen, dass das Integral integriert " 0,5 x² * arcsin (x)" ist?

Na ja...nachdem ich ja substituieren sollte, wäre mein Ansatz dafür:

Substitution:
s = 1 - x²
s' = ds = -2x dx

\Rightarrow x * arcsin (x) - \int_a^b \! \frac{x}{\sqrt{s}} * (-2x)\, ds

nach "erfolgreicher"Recherche im Internet weis ich dass ich irgendwas falsch gemacht habe...Angeblich soll folgendes Ergebnis richtig sein:

\Rightarrow x * arcsin (x) + 0,5 \int_a^b \! \frac{1}{\sqrt{s}} \, ds

wie kommen die denn auf "+0,5) und nicht auf +2?
und wo ist denn das "x" im Zähler hin?
Bitte um Hilfe smile

MFG
Melanie

16.06.2010, 14:50

BUWE-Melanie

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so sehen die Formeln aus...^^

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x * arcsin (x) - \int_a^b \! \frac{x}{\sqrt{s}} * (-2x)\, ds \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x * arcsin (x) + 0,5 \int_a^b \! \frac{1}{\sqrt{s}} \, ds \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 15:06

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Ich frag mich echt, warum bei so vielen Schülern immer gerade beim Substituieren der Verstand völlig aussetzt: Erst schreibst du noch richtig $\begin{eqnarray*} \dd s = -2x ~ \dd x \end{eqnarray*}$ , um es in der nächsten Zeile völlig zu vergessen, nämlich in der falschen Vertauschung $\begin{eqnarray*} \dd x \stackrel{?}{=} -2x ~ \dd s \end{eqnarray*}$ :

Zitat:

Original von BUWE-Melanie
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x * arcsin (x) - \int_a^b \! \frac{x}{\sqrt{s}} * (-2x)\, ds \end{eqnarray*}$

Richtig wäre da

$\begin{eqnarray*} \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) ~ \dd x = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{s}} ~ \dd s \end{eqnarray*}$ .

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