Matrizen und Unterräume |
25.05.2010, 19:16 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
Matrizen und Unterräume Die Aufgabe lautet: Es sei A element R^2x2. Beweisen oder wiederlegen Sie: a) Die Menge L:={X element R^2x2 | Rang X <=1} ist ein Unterraum von R^2x2 b) Die Menge M:={X element R^2x2 | AX = XA} ist ein Unterraum von R^2x2 c) Die Menge N:={X element R^2x2 | X²=0} ist ein Unterraum von R^2x2 zu a) stimmt meiner Meinung nach nicht, denn X hat 2 Spalten und 2 Zeilen und kann daher auch den Rang 2 haben. Stimmt das? zu b) stimmt meiner Meinung nach. Muss ich hier dann alle Unterraumkriterien durchgehen?? zu c) stimmt wenn X nur Nullen enthält oder? |
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25.05.2010, 19:20 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Matrizen und Unterräume Erstens: Es heißt widerlegen ohne e. Und zweitens hast du die Aufgabenstellung und Mengen falsch verstanden. Die erste beinhaltet alle Elemente der 2x2-Matrizen über R, die den Rang 1 oder 0 haben. Die Matrizen mit Rang 2 sind garnicht in der Menge enthalten. Die Aufgabe ist jetzt zu zeigen oder widerlegen, dass das ein Unterraum von R^(2x2) ist. Dafür musst du gucken welche Kriterien für einen Unterraum gelten müssen. Welche wären das? |
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25.05.2010, 19:31 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
oh, sorry! ^^ natürlich widerlegen! die Unterraumkriterien sind: 1) a, b element UR, a+b muss auch element UR sein 2) a mal Lambda mit Lambda elemet R muss auch element UR sein 3) Null muss enthalten sein zu 3) ist erfüllt, denn die Null-Matrix hat den Rang kleiner gleich 1 zu 2) durch multiplikation verändert sich der Rang einer Matrix doch nicht. Also ist das auch erfüllt zu 1) ein Element mit Rang 1 + ein Element mit Rang 1 hat immer noch den Rang 1. Und ein Element mit Rang 0 + ein Element mit Rang 1 hat auch nicht mehr als Rang 1. etwa so? |
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25.05.2010, 19:41 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
IfindU scheint offline zu sein... Ja, das wären die Kriterien. Und ja, die 0 ist enthalten. Allerdings stimmen deine anderen beiden Aussagen nicht. Definiere , was ist dann ? |
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25.05.2010, 20:01 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
ah, ok stimmt! Rg (A+B)=2 und Rg(A mal B)= 0 oder? und durch Rg (A+B) habe ich die Aussage ja widerlegt stimmts? |
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25.05.2010, 20:05 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, damit ist das ganze widerlegt |
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25.05.2010, 20:37 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok super! zu b) weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll. zu c) denke ich, dass die 0 enthalten ist, denn wenn X= stimmt X²=0 |
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25.05.2010, 20:39 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, die 0 ist enthalten. Wie siehts mit der Abgeschlossenheit aus? |
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25.05.2010, 20:42 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
bzgl. der Addition kann ich doch 2 matrizen B und C finden, für die (B+C)²=0 nicht gilt oder? |
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25.05.2010, 20:43 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn du das kannst, wäre das gut, ja |
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25.05.2010, 20:50 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok, ich versuchs mal: sei A= und B= dann ist A+B= und ist dann 0 |
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25.05.2010, 20:53 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber A und B sind doch gar nicht in deiner Menge enthalten Du musst zwei Matrizen A und B finden, sodass A²=0 und B²=0 gilt, denn nur dann liegen die in deiner Menge. Wenn dann ist, dann hast du die Behauptung widerlegt. |
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26.05.2010, 12:06 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
achso ja stimmt... leider finde ich keine! immer nur die Nullmatrix! aber mit der kann ich es ja nicht widerlegen! Hast du einen Tipp für mich? |
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26.05.2010, 13:52 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
Na, so viele 2x2 Matrizen gibt es ja nicht, die in Frage kommen, versuchs mal mit . |
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26.05.2010, 14:15 | pytago | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok das hab ich jetzt gelöst! für b habe ich die 1 unten links hin! danke! zur b) das die 0 enthalten ist würde ich zeigen in dem ich für A die Nullmatrix einsetze die addition würde ich zeigen indem ich (A+B)X=X(A+B) zeige und die Multiplikation würde ich zeigen indem ich LambdaAX=LambdaXA zeige oder? |
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26.05.2010, 14:21 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
A ist eine beliebige, fest gewählte Matrix, also kannst du für A nicht einfach die Nullmatrix wählen, wähl dir lieber X als die Nullmatrix und zeig AX=XA. Multiplikation sollte stimmen (wenn du das korrekt gezeigt hast), überleg aber nochmal was du beim letzten Kriterium zeigen musst (A ist wie gesagt eine beliebige, fest gewählte Matrix). |
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