Basen von Kern(F) und Bild(F) |
| 25.05.2010, 19:22 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Basen von Kern(F) und Bild(F) Betrachten Sie F€Endomorphismus(R³) gegeben durch F(x)= [2x1-x2, x2+x3, x3+2x1] Bestimmen Sie jeweils Basen von Kern(F) und Bild(F) also da Kern ja so definiert (Kern(f):={v € V: f(v)=0} ist, habe ich ein Gleichungssystem erstellt und 2x1-x2=0 x2+x3=0 x3+2x1=0 gesetzt nun habe ich für x1= 1, x2= 2 und x3= -2 heraus bekommen. Das ist nun der Kern von F ist dies auch gleichzeitig die Basis vom Kern? Wie sieht dann die Basis vom Bild aus? Überlegung: Die Definition ist ja so: Bild(f):={w€W: Es ex. v€V: F(v)=w} das sind ja die Vektoren, aus W, die F tatsächlich annimmt. Da hier die Abb. Endomorph ist, heißt es dass dies wieder alle sind, also 2x1-x2, x2+x3, x3+2x1? |
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| 25.05.2010, 20:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Basen von Kern(F) und Bild(F) Stelle die zugehörige Matrix auf. Der Rest steht in http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=384510. |
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| 25.05.2010, 20:59 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Basen von Kern(F) und Bild(F) also habe ich für den Kern dann die Matrix 2 -1 0 0 1 1 2 0 1 heraus und somit ist dann Kern(F)=span {(1,2,-2)} die transponierte Matrix ist dann 2 0 2 -1 1 0 0 1 1 aber wie kann ich dann nach Gauß umformen? Irgendwie hatte ich das noch nicht. aber wär dann shcon einmal einer von den 3 Vektoren der Basis (1,0,1)? |
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| 25.05.2010, 22:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Basen von Kern(F) und Bild(F) Was sollte man dann als Student selbstständig schon einmal tun? Richtig, den Gaussalgorithmus nachschlagen. 
Matrix von F bzgl. Standardbasen: Was ist der Kern? Die Lösung (Lösungsraum) von und nicht eine Matrix. Wie kommst du nun auf
Rechenweg zeigen. Das hast du wohl oben stehen. Auch hier hilft der Gaussalgorithmus für eine systematische Vorgehensweise. |
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| 26.05.2010, 14:26 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie genau bist du bei deinem beispiel 1 in dem link auf die 2.Matrix gekommen, die du mit (x1,x2,x3,x4) multipliziert hast? aber mein kern ist doch generell erstmal richtig oder? |
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| 26.05.2010, 14:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Prinzipiell ja, wenn. Aber dein Rechenweg ist unvollständig. Es könnte ja noch eine Lösung geben, die von deiner Lösung linear unabhängig ist. Diese Frage läßt sich mit dem Gaußalgorithmus klären. Deine Aussage "das hatten wir noch nicht" läßt mich an der Vorgehensweise an den Hochschulen zweifeln. |
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| 26.05.2010, 16:37 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also mithilfe eines Gleichungssystems habe ich ja bereits x1,x2,x3 für den Kern ausgerechnet. Da gibt es ja dann nur eine Lösung. Und wenn wir etwas noch nicht hatten, dann dürfen wir es auch nicht verwenden für die Übungsblätter. Habe mir dann deine Verlinkung angesehen zum Bild. Aber wie kommst du da auf die Matrizen? wäre lieb, wenn du mir das erklären könntest. |
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| 26.05.2010, 17:11 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Gaußalgorithmus ist Schulstoff. Wenn Ihr den noch nicht hattet, so lässt mich das vor allem am Schulsystem zweifeln. Geh einfach mal davon aus, dass der Gauß hier erlaubt ist. Und was meinst Du mit den Links? Das hier: [Artikel] Basis, Bild und Kern? Wenn ja, dann sag bitte, was genau Du nicht verstehst; gib zum Beispiel an, den wievielten Beitrag Du meinst und wo das Problem liegt. Gruß, Reksilat. |
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| 26.05.2010, 17:20 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
beispiel 1 nach Das LGS zur Kernberechnung wie kommt sie von der 1. auf die 2. matrix? |
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| 26.05.2010, 17:23 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist Gaußalgorithmus. (siehe hier) |
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| 26.05.2010, 17:39 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, aber hier bleiben doch immer in der 3.zeile mind. 2 variablen stehen oder? |
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| 26.05.2010, 17:45 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst Du jetzt das System: 2x1-x2=0 x2+x3=0 x3+2x1=0 
Also man kann in der dritten Zeile auch die Nullzeile erzeugen. Dann stehen da keine Variablen mehr. |
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| 26.05.2010, 17:59 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich bekomme das nicht hin. bei mir stehen in jeder zeile immer 2 variablen, egal wie ich es auch immer wieder versuche umzustellen.... langsam verzweifel ich.... |
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| 26.05.2010, 21:15 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gibt es nicht auch noch einen anderen Weg, den ich machen könnte um die Basis des Bildes zu erhalten? |
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| 27.05.2010, 08:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da du keine Details deiner Rechnung angegeben hast, sondern nur "nun habe ich für x1= 1, x2= 2 und x3= -2 heraus bekommen.", ist nicht klar, wieso es nicht eine weitere linear unabhängige Lösung geben kann.
Bei 2x1 - x2 = 0 x2 + x3 = 0 x3 + 2x1 = 0 brauchst du nur von der 3. Gleichung die 1. Gleichung subtrahieren. Das führt zu: 2x1 - x2 = 0 x2 + x3 = 0 x2 + x3 = 0 Die 3. Gleichung ist nun identisch mit der 2. Gleichung. Der Gauß-Algorithmus sagt jetzt, daß die 3. Variable frei wählbar ist und daß daher die Basis des Kerns aus einem Vektor besteht. |
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| 27.05.2010, 10:16 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, aber wieso sagt mir der gauß das, dass die 3. frei wählbar ist? und wie mache mit dem bild weiter? |
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| 27.05.2010, 11:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe die Frage nicht. Das ergibt sich eben aus der Anwendung des Verfahrens.
Berechne die Bilder der Einheitsvektoren und bilde daraus eine Basis. |
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| 27.05.2010, 12:08 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann sind v=(2,0,2) , w=(-1-1-0) und z=(0,1,1) die Bilder der Einheitsvektoren und weil sie linear unabhängig sind auch eine Basis. Stimmt das? |
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| 27.05.2010, 12:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soo? Dann rechne mal 0,5 * v + w, wobei w= (-1, 1, 0) ist. |
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| 27.05.2010, 12:23 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oho, ich hab mich nur verschrieben. Aber ist dann soweit richtig? Wieso kann ich genau die Bilder der Einheitsvektoren nehmen? Bestimmt weil sie ein Erzeugendensystem von End(R^3) bilden, oder? |
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| 27.05.2010, 13:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil jeder Bildvektor eine Linearkombination aus den Bildvektoren der Einheitsvektoren ist. Mit meinem vorigen Beitrag wollte ich vorsichtig andeuten, daß deine Vektoren v, w und z linear abhängig sind und demzufolge keine Basis bilden. |
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| 27.05.2010, 13:19 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh, stimmt. aber wie mache ich die lin. unabhängig? aber kann ich evtl. einen vektor rausnehmen, um die basis zu bilden? aber das ist doch dann kein Erzeugendensystem mehr oder? |
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| 27.05.2010, 13:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die einfachste Methode ist es, die Vektoren als Zeilen in eine Matrix zu schreiben und diese auf Zeilenstufenform zu bringen. Die Nicht-Nullzeilen sind dann die Basisvektoren. 
Das Verfahren sollte eigentlich bekannt sein. |
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| 27.05.2010, 15:06 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, ich kenne die Zeilenstufenform nicht aus der Vorlesung. Aber ich habe nachgelesen: Stimmt die? Und somit sind also (2,-1,0) und (0,1,1) meine Basisvektoren? |
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| 27.05.2010, 15:35 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. 
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| 27.05.2010, 15:54 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann vielen, vielen Dank! |
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| 27.05.2010, 16:26 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nur noch eine Frage ist der Kern(F)= (1,2,-2) oder Kern(F)=[(1,2,-2)*c element von R^3: c element R] weil du vorhin meintest er besteht nur aus einem Vektor. |
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| 27.05.2010, 16:38 | Mimi22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
der kern ist der untere, den ich aufgeschrieben habe und eine Basis vom Kern ist dann: v=(1,2,-2) nicht wahr? |
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| 28.05.2010, 08:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Man kann auch schreiben: Kern(F) = <(1,2,-2)>
Wenn ich mich nicht irre, habe ich gesagt, daß die Basis des Kerns nur aus einem Vektor besteht. |
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