Identifikation linearer Abbildungen mit Matrizen & Dimensionssatz

25.05.2010, 20:00

mario_o9

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Identifikation linearer Abbildungen mit Matrizen & Dimensionssatz

Hey, ich acker gerade mein Höhere Mathematik II Skript durch und hänge an einer Stelle, die ich noch nicht verstanden habe.

Thema Matrizen:

Sei L: V->W eine lineare Abbildung, B = (v1,..,vn) Basis von V, C=(w1,...,wn) Basis von W. Dann gilt:

i) L ist auf ganz V bereits durch die Werte L(v1) ... L(vn) E W festgelegt
ii) Zu je n Vektoren y1,...,yn E W gibt es genau eine lineare Abbildung L: V->W mit der Eigenschaft

L(vj) = yj für alle j = 1,...,n

L(vj) = Addition von i=1 bis m ( l(ij) * w(i)) für j = 1,...,n.

D.h. es existieren eindeutige Zahlen l(ij) E K, so dass obiges gilt.

Jetzt folgt daraus, dass

(l11 l12 l13...l1n)
(l21 l22 ... l2n)
(.....................) = l(ij) = L
(lm1............lmn)

das obige soll ne Matriz sein!

Als Beispiel ist das V = W = R² gegeben. L Sei Spiegelung an der Geraden x = t*v Teilmenge von V mit ||v|| = 1 , v = (v1,v2)

Darstellung von L bezüglich der Einheitsbasis (e1,e2) ergibt

((2(v1)²- 1) (2v1v2))

((2v1v2) (2(v2)²-1))

Wie kommt man denn auf diese Matrix?
Klar ist, dass das l(ij) ja definiert ist durch

L(vj) = Addition von i=1 bis m ( l(ij) * w(i)) für j = 1,...,n

Nur hilft mir das auch nicht weiter, um nachvollziehen zu können, wie man auf die einzelnen Matrizeneinträge kommt!

Zum Zweiten:

Sei L: V->W linear. DAnn gilt:

a) L ist injektiv <=> dim V = dim im(L) <= dim W
b) L ist surjektiv <=> dim V = dim ker(L) + dim W
c) L ist bijektiv <=> (dim V = dim W & ker(L) = {0})

Warum?

25.05.2010, 20:03

Airblader

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Erstmal: Das Ding heißt Matrix, nicht Matriz!
Zweitens: Glaubst du wirklich, dass man das lesen kann? Verwende bitte den Formeleditor (den du auch rechts in der Navigation findest)

Drittens, da man das Thema erahnen kann:

Um die Abbildungsmatrix aufzustellen musst du die Basisvektoren des abgebildeten Raumes abbilden und dort als Linearkombination der Basisvektoren im Zielraum darstellen. Die Koeffizienten bilden dann die Abbildungsmatrix.

Im Falle der kanonischen Basis im IR² heißt das: Die Vektoren (0,1) und (1,0) abbilden und dieses Bild als Linearkombination von (0,1) und (1,0) darstellen.

air

25.05.2010, 20:20

mario_o9

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Zitat:

Hey, ich acker gerade mein Höhere Mathematik II Skript durch und hänge an einer Stelle, die ich noch nicht verstanden habe.

Thema Matrizen:

Sei L: V->W eine lineare Abbildung, B = (v1,..,vn) Basis von V, C=(w1,...,wn) Basis von W. Dann gilt:

i) L ist auf ganz V bereits durch die Werte L(v1) ... L(vn) E W festgelegt
ii) Zu je n Vektoren y1,...,yn E W gibt es genau eine lineare Abbildung L: V->W mit der Eigenschaft

L(vj) = yj für alle j = 1,...,n

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2v1²-1 & 2*v1*v2 \\ 2*v1*v2 & 2*v2²-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
für j = 1,...,n.

D.h. es existieren eindeutige Zahlen l(ij) E K, so dass obiges gilt.

Jetzt folgt daraus, dass

L = l(ij) = $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} l11 & ... & l1n \\ ... & ... & ... \\ lm1 & ... & lmn \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

das obige soll ne Matriz sein!

Als Beispiel ist das V = W = R² gegeben. L Sei Spiegelung an der Geraden x = t*v Teilmenge von V mit ||v|| = 1 , v = (v1,v2)

Darstellung von L bezüglich der Einheitsbasis (e1,e2) ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}2v1²-1 & 2*v1*v2 \\ 2*v1*v2 & 2*v2²-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man denn auf diese Matrix?
Klar ist, dass das l(ij) ja definiert ist durch

L(vj) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n l(ij) * w(i) \end{eqnarray*}$

Nur hilft mir das auch nicht weiter, um nachvollziehen zu können, wie man auf die einzelnen Matrizeneinträge kommt!

Zum Zweiten:

Sei L: V->W linear. DAnn gilt:

a) L ist injektiv <=> dim V = dim im(L) <= dim W
b) L ist surjektiv <=> dim V = dim ker(L) + dim W
c) L ist bijektiv <=> (dim V = dim W & ker(L) = {0})

Warum?

Konnte meinen ersten beitrag nicht mehr editieren!

DAnke erstmal für den Beitrag..aber verstehen tue ich das trotzdem nicht genau. Also vor allen Dingen das Beispiel. Das davor denke ich schon. Ich hab halt für jeden Eintrag in der Matrix eine Zahl l(ij), nur wie komm ich da jetzt genau auf die einzelnen Einträge davon?

25.05.2010, 20:29

Airblader

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Machen wir doch mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2, (x,y) \mapsto (y, x) \end{eqnarray*}$

Wobei wir beide Räume erstmal mit der Standardbasis versehen.

Jetzt bilde mal die Bilder der Basisvektoren.

air

25.05.2010, 20:39

mario_o9

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Meinst du das so?

L(v1) = l11*w1 + l21*w2
L(v2) = l12*w1 + l22*w2

w1 müsste ja dann e1 und w2 e2 entsprechen, also

L(v1) = l11*(1 0) + l21*(0 1)
L(v2) = l12*(1 0) + l22*(0 1)

25.05.2010, 20:40

Airblader

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Du sollst die Bilder konkret ausrechnen.

z.B. würde der Vektor (3,4) so abgebildet werden:

f(3,4) = (4,3) = 4 * (1,0) + 3 * (0,1)

Und jetzt machst du das eben mit (1,0) und (0,1).
Stelle das Ergebnis dann als Linearkombination von (1,0) und (0,1) dar (wie ich bei meinem Beispiel auch)

air

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25.05.2010, 20:44

mario_o9

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L(1,0) = (0,1) = 0*(1,0) + 1*(0,1)
L(0,1) = (1,0) = 1*(0,1) * 0*(1,0)

25.05.2010, 20:50

Airblader

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Genau

Freude

Wenn du jetzt die Koeffizienten der Linearkombination in eine Matrix packst, wobei du es transponieren musst (d.h. was hier der Reihenfolge einer Zeile entspricht ist in der Matrix eine Spalte), dann hast du die Abbildungsmatrix.

Das heißt: Die k-te Spalte in der Abbildungsmatrix gibt dir die Koeffizienten, die man benötigt, um den k-ten Basisvektor abzubilden als Linearkombination der Basisvektoren im Zielraum.

Die Abbildungsmatrix hier wäre also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt machen wir das Ganze mal etwas anders, denn wir wählen für den Zielraum nun die Basis $\begin{eqnarray*} B = \left\{\left(\frac12,0\right),\left(0,\frac14\right)\right\} \end{eqnarray*}$ . Im ersten Raum bleiben wir bei der Standardbasis.

Kannst du nun die Abbildungsmatrix für diese Basen angeben?
Du musst nun lediglich die Linearkombination anpassen!

air

25.05.2010, 21:05

mario_o9

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$\begin{eqnarray*} L(1,0) = (0,1) = 0*(\frac{1}{2},0) + 1* (0,\frac{1}{4})<br /> L(0,1) = (1,0) = 1*(\frac{1}{2},0) + 0* (0,\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$

D.h. die Abbildungsmatrix wäre:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Latex ist gewöhnungsbedürftig^^)

Mh..und genauso ist das bei dem Beispiel, was ich oben gepostet habe gemacht worden`

25.05.2010, 21:07

Airblader

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Seit wann ist $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \frac14 = 1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Habe extra die "hässliche" Basis gewählt, damit wenigstens die Abbildungsmatrix schöner wird.

air

25.05.2010, 21:09

mario_o9

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mh..ja ich hab doch meine Abbildung von (0,1) auf (1,0) und dann mach ich 1* erster Basisvektor der Zielraums + 0* zweiter Basisvektor des Zielraums,oder? ..das hat mich grad auch stutzig gemacht :/..

EDIT:

$\begin{eqnarray*} L(1,0) = (0,1) = 0*(\frac{1}{2},0) + 4 * (0,\frac{1}{4})<br /> L(0,1) = (1,0) = 2*(\frac{1}{2},0) + 0* (0,\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$

D.h. die Abbildungsmatrix wäre:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.05.2010, 21:11

Airblader

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Edit: Ah, nach deinem Edit wirds richtiger. Jetzt nur noch gucken ob deine Matrix stimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit #2: Ja, so ist es korrekt Freude

Freude

air

25.05.2010, 21:13

mario_o9

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Jetzt stimmt sie, habs vergessen zu editieren.

Aber mich hat das vorhin verwirrt, weil die Abbildungsmatrix ja eindeutig ist, oder? Wenn ich andere Basisvektoren wähle, hab ich doch evtl die Möglichkeit unterschiedliche Koeffizienten zu wählen, die aber das gleiche abbilden?!

25.05.2010, 21:17

mario_o9

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Okay, also wenn ich den Vektor (1,0) hinzumultipliziere erhalte ich (0,4), soweit verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Wie sieht's mit dem Beispiel oben aus? Mich verwirrt die Geradenspiegelung irgendwie und ich hab immer noch keine Ahnung, wie man dann direkt auf die Matrix da kommt :/.
Danke aber schonmal, hast mir schon zumindestens einen dicken Knoten gelöst^^

25.05.2010, 21:42

Airblader

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Sorry - ich muss jetzt leider grad weg!
Jemand anders hilft dir bestimmt gerne das restliche Stückchen weiter.

air

26.05.2010, 12:04

Airblader

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Für die Spiegelung schaue dir mal hier den Abschnitt "Spiegelung an einer beliebigen Ursprungsgeraden" an. Hier wird ein konkretes Beispiel vorgerechnet, das du eben allgemeiner machen müsstest.

Denk dran: Es genügt, zu wissen, wie (1,0) und (0,1) an einer beliebigen Gerade gespiegelt werden.

Die Vorgehensweise am Ende in diesem Abschnitt funktioniert so nur für die Standardbasis. Aber die hast du bei dir ja auch.

air

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