Endomorphismus

25.05.2010, 21:01

Kerstin21

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Endomorphismus

Meine Frage:
Sei F:V->V Endomorphismus des Vektorraumes V und v element V, so dass für ein n element N gilt:

$\begin{eqnarray*} F^(n+1)(v)=0 und F^n\neq 0 \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist, dass v, F(v),....F^n(v) linear unabhängig sind.

Meine Ideen:
Hallo,
ich habe ja zu zeigen das

a1v+a2*F(v)+....+an*F^n(v)=0 für alle v element V

So, wie genau mache ich das aber nun?

Soll ich mir für v Werte ausdenken und dann ein Gleichungssystem aufstellen?
Oder führt mich das nicht zum Ziel?
Wenn ich zum beispiel v=0 setze, komm ich ja darauf, dass a1 schon mal 0 sein muss.

25.05.2010, 21:26

Mulder

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RE: Endomorphismus
Zeigen willst du, dass sich die Null nur als die triviale Linearkombination von v,F(v),...,F^^n(v) darstellen lässt, also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a_0v+a_1F(v) + ... + a_nF^n(v) = 0 \end{eqnarray*}$

nur dann gelten kann, wenn alle a null sind. Ein Ansatz wäre, auf beiden Seiten mal F anzuwenden. Nutze dabei dann die Eigenschaften eines Endomorphismus' (der insbesondere ja linear ist).

25.05.2010, 21:30

Maxi21

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RE: Endomorphismus
Ich darf diese Aufgabe auch lösen, daher überleg ich hier mal einfach mit.

Kann ich dann aufgrund des Endomorph. sagen dass F(v)=v ist? und F^n(v) ist ja ungleich 0

dann stünde da a1*v+ a2*v...+an*etwas ungleich 0 = 0

Ist die Überlegung so richtig?

25.05.2010, 21:33

Mulder

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RE: Endomorphismus

Zitat:

Original von Maxi21
Kann ich dann aufgrund des Endomorph. sagen dass F(v)=v ist?

Nein, natürlich nicht. Warum sollte das so sein? Das ist keine Eigenschaft eines Endomorphismus'.

Einen ersten Hinweis habe ich ja nun schon gegeben.

25.05.2010, 21:40

kerstin21

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mmh...
mein problem ist nur, wie wende ich F an?
Ich verstehe die Funktion nicht so ganz....
kannst du dazu evtl. noch was sagen?

25.05.2010, 21:44

Mulder

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RE: Endomorphismus
Also, sei

$\begin{eqnarray*} a_0v+a_1F(v) + ... + a_nF^n(v) = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun eine Gleichheit der Form a=b da stehen haben, dann gilt ja garantiert auch F(a)=F(b). Einverstanden? Wende das genauso auf die Gleichung oben an. Also:

$\begin{eqnarray*} F(a_0v+a_1F(v) + ... + a_nF^n(v)) = F(0) \end{eqnarray*}$

Nun verwende die diversen Eigenschaften einer linearen Abbildung. Und es ist

$\begin{eqnarray*} F(F(v)) = F^2(v) \end{eqnarray*}$

beispielsweise.

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25.05.2010, 21:47

Maxi21

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RE: Endomorphismus
Ist dann F(F^n(v))= F^n+1(v)= 0 ?

25.05.2010, 21:52

Mulder

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RE: Endomorphismus

Zitat:

Original von Maxi21
Ist dann F(F^n(v))= F^n+1(v)= 0 ?

Ja.

25.05.2010, 21:58

kerstin21

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wie kommst du darauf?

25.05.2010, 22:01

Maxi21

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naja wenn wir da F anwenden. hab ich mir die einzelnen Glieder angesehen und nach etwas gesucht, was wir gegegebn haben.

Wir haben in der Aufgabe F^n+1(v)=0 gegeben
und wenn wir F^1(F^n(v)) haben ist das dann F^n+1(v)=0

hoffe ist einigermaßen erklärt

25.05.2010, 22:15

Maxi21

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aber wenn ich dann anstelle F^n+1(v) 0 einsetze steht ja da unter anderem an*0
das würde doch heißen an muss hier nicht unbedingt 0 sein. ist das dann nicht widerspruch zu lin. unabh.?

Irgendwie hab ich das glaucb ich nicht richtig verstanden.

Wie kann ich dann weiter machen? ggf. ai mit i={0,....,n} ausklammern? bringt mir das etwas?

25.05.2010, 22:24

Mulder

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Zitat:

Original von Maxi21
aber wenn ich dann anstelle F^n+1(v) 0 einsetze steht ja da unter anderem an*0
das würde doch heißen an muss hier nicht unbedingt 0 sein. ist das dann nicht widerspruch zu lin. unabh.?

Du bist an dieser Stelle ja auch noch nicht fertig. Ich gehe mal davon aus, dass du nun hier bist:

$\begin{eqnarray*} F(a_0v+a_1F(v) + ... + a_nF^n(v)) = F(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \, \, a_0F(v) +a_1F^2(v) + ... + a_nF^{n+1}(v)) = F(0)=0 \end{eqnarray*}$

Den letzten Summanden auf der linken Seite kannst du nun einfach rausschmeißen. Warum, hast du ja schon gesagt, das ist ja eben null. Über $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ können wir jetzt vorerst noch gar nichts sagen. Wollen wir auch gar nicht. Das kommt später. Wir sind nun, nachdem wir den letzten Summanden rausgeschmissen haben, soweit:

$\begin{eqnarray*} a_0F(v) +a_1F^2(v) + ... + a_{n-1}F^{n}(v) =0 \end{eqnarray*}$

Einverstanden? kerstin21 auch? Jetzt das gleiche Spiel von vorne: Nochmal genauso F auf beiden Seiten anwenden. Dann sollte die Idee so langsam offensichtlich werden.

25.05.2010, 22:30

Maxi21

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nun wenden wir so oft F an bis wir vl. nur noch an-n bzw. ao* F^n(v)=0 und da gegeben war F^n(v) ist nicht gleich 0 muss ao = 0 sein

ist das so halbwegs richtig?

25.05.2010, 22:36

Mulder

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Zitat:

Original von Maxi21
ist das so halbwegs richtig?

Haargenau das war die Idee dahinter. Freude

Freude

So, nun ist also $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ gleich null. Jetzt musst du dich eben auf die vorherigen Gleichungen rückbesinnen. Wenn man insgesamt F n mal anwendet, erhält man $\begin{eqnarray*} a_0F^n(v)=0 \end{eqnarray*}$ und damit eben $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ , weil die anderen Summanden schon alle weg sind. Was erhält man, wenn man F nur n-1 mal anwendet? Schreib die Gleichung ruhig mal explizit hin.

25.05.2010, 22:42

Maxi21

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wenn man nur n-1 mal F anwendet erhält man:

a0*F(v)+a1*F^n+1(v)=0

und F^n+1(v)=0

25.05.2010, 22:45

Mulder

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Zitat:

Original von Maxi21
wenn man nur n-1 mal F anwendet erhält man:

a0*F(v)+a1*F^n+1(v)=0

Nein. Das erhält man, wenn man F genau n mal anwendet.

25.05.2010, 22:48

Maxi21

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dann ao*F(v)+a1*F^2(v)=0

ist das jetz n-1 mal F angewandt?

25.05.2010, 22:57

Mulder

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RE: Endomorphismus
Nein, jetzt wird's total konfus.

Wenn man F genau n mal anwendet, und erst einmal alles stehen lässt, bekommt man doch (soweit waren wir ja schon):

$\begin{eqnarray*} a_0F^n(v)+a_1F^{n+1}(v)+a_2F^{n+2}(v)+ ... +a_nF^{2n}(v)=0 \end{eqnarray*}$

Bis auf den ersten Summanden links fallen die anderen ja alle weg, wegen der Anfangsvoraussetzung. Wenn man F aber nur n-1 mal anwendet, also einmal weniger, ergibt sich doch stattdessen:

$\begin{eqnarray*} a_0F^{n-1}(v)+a_1F^{n}(v)+a_2F^{n+1}(v)+ ... +a_nF^{2n-1}(v)=0 \end{eqnarray*}$

Auch hier fallen wieder die meisten Summanden weg. Aber eben nicht alle. Was bleibt stehen?

26.05.2010, 20:41

Maxi21

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RE: Endomorphismus
stehen bleibt dann a0*F^n-1(v)+a1*F^n(v)=0
und F^n (v) ist ungleich 0

was sagt mir das jetzt?

26.05.2010, 20:54

Mulder

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RE: Endomorphismus

Zitat:

Original von Maxi21
was sagt mir das jetzt?

Na, du weißt doch aus den vorhergegangenen Überlegungen bereits, dass $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Was muss folglich mit dem Wissen, dass $\begin{eqnarray*} F^n(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, für $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ gelten?

26.05.2010, 20:59

Maxi21

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RE: Endomorphismus
weiß nicht, vl. dass a1 =0
aber muss dass denn sein?
wenn wir nicht wissen was für a0*F^n-1 herauskommt kann ich doch auch keine aussage über a1 treffen oder?

26.05.2010, 21:05

Mulder

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RE: Endomorphismus
Du scheinst gerade Tomaten auf den Augen zu haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a_0F^{n-1}(v)+a_1F^n(v)=0 \end{eqnarray*}$

Ist doch völlig Banane, was genau nun $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ ist. Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ ist. Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 0\cdot F^{n-1}(v)+a_1F^n(v)=0 \end{eqnarray*}$

Und völlig egal, was nun $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ ist: Ganz sicher ist $\begin{eqnarray*} 0\cdot F^{n-1}(v)=0 \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

26.05.2010, 21:10

Maxi21

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RE: Endomorphismus
also hast du jetz hier eingesetzt, was wir vorher herausbekommen haben nämlich dass a0=0 sein muss (F n mal angewendet) und nun ist logischerweise a1*F^n(v)=0 und da F^n(v) ungleich null ist muss a1 =0 sein.

26.05.2010, 21:13

Mulder

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RE: Endomorphismus
Richtig. Jetzt weiter: Wende F nur n-2 mal auf die Ausgangsgleichung an.

Macht's Klick? Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.05.2010, 21:17

Maxi21

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RE: Endomorphismus
also hab ichs erst n mal angewendet um dann a0 zu erhalten
dann setze ich a0=0 ein in das, wo nur n-1 mal F angewand wurde. dann erhalte ich a1=0 und dass dann wieder in das wo F n-2 mal angewandt wurde..und erhalte a3=0 usw.

und wie schreibe ich das sauber auf? ich kann ja da nicht so viel Erklärungen hinschreiben, oder?

26.05.2010, 21:26

Mulder

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RE: Endomorphismus

Zitat:

Original von Maxi21
[...]und dass dann wieder in das wo F n-2 mal angewandt wurde..und erhalte a3=0 usw.

Zunächst mal: Die Betrachtung von der Gleichung, die entsteht, wenn du F n-2 mal anwendest, gibt Aufschluss über a_2, nicht über a_3. Du musst da schon sorgfältig sein.

Zitat:

Original von Maxi21
und wie schreibe ich das sauber auf? ich kann ja da nicht so viel Erklärungen hinschreiben, oder?

Was ist schlimm daran? Nicht jede Aufgabe lässt sich in einen hübschen Einzeiler packen. Es ist gut möglich, dass es auch hier eine kompaktere Möglichkeit gibt, die Aufgabe zu bewältigen. Falls ja, sehe zumindest ich das aber derzeit nicht. Und sooo viel ist das ja nun auch nicht. Du musst es ja auch nicht für jedes a_i extra hinschreiben. Mache es für a_0, a_1 und vielleicht noch a_2, dann ist das Schema erkennbar und du kannst es für alle weiteren a_i begründen. Am Ende bleibt nur der letzte Summand der Ausgangsgleichung stehen, also

$\begin{eqnarray*} a_nF^n(v)=0 \end{eqnarray*}$

weil du alle anderen Summanden eliminiert hast. Und auch hier ist dann klar, was a_n sein muss. Fertig. So viel ist das doch nun wirklich nicht.

Wenn du das für unzumutbar hälst, darfst du dich aber natürlich gerne nach einem anderen Lösungsweg umsehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.05.2010, 21:30

Maxi21

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RE: Endomorphismus
ich halte das nicht für unzumutbar. WOllt nur fragen.
Ich mach das jetzt so und bedank mich für deine große Hilfe!-Danke!
Auch Danke für die freundliche Art der Erklärung, gibt es ja nicht immer ;-)

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